Differentialligninger

Givet en differentialligning dy/dt = f(y,t), så er løsningskurven den kurve i (t,y)-planen, hvis tangent i punktet (t₀,y₀) har hældningskoefficienten f(y₀,t₀). Der er uendelig mange løsningskurver, men til en bestemt begyndelsesbetingelse hører en bestemt løsningskurve. Begyndelsesbetingelsen kan siges at være det punkt, hvori løsningskurven skærer y-aksen. Den fulstændige løsning angiver familien af alle løsningskurven til differentialligningen.

Og så til et simpelt eksempel: betragt differentialligningen dy/dt = y. Den fuldstændige løsning er her givet ved en funktion, der differentieret giver sig selv. Den eneste sådan funktion, bortset fra 0, er C*e^t, hvor C er en konstant. Familien af løsningskurver er således givet ved forskriften y(t) = C*e^t, hvor C er en konstant. Den specifikke værdi af konstanten er givet ved begyndelsesbetingelsen, y(0) = y₀, hvor y₀ er et tal. Lad os for eksemplets skyld sige, at y(0) = 3, dvs. at løsningskurven skal skære y-aksen i (0,3). Ud fra det regner vi os frem til, at C skal være lig 3. Således er løsningskurven givet ved forskriften y(t) = 3*e^t.

Jeg håber, at du fik noget ud af dette. :)