Hjælp til (meget) svær opgave

Bemærk først, at p(x) er differentiabel for ethvert x. Da enhver af de n reelle rødder r_i ≤ 1, er enhver af faktorerne (x-r_i) i p(x) ≥ 0, for x ≥ 1, og vi kan skærpe ulighederne til, at x-r_i > 0 for x > 1. Dermed gælder også, at p(x) > 0 for alle x > 1, og p(1) kan kun antage værdien 0, hvis en eller flere af rødderne r_i er = 1.

For x > 1 kan vi nu skrive

p'(x) = p(x) (1/(x-r₁) + 1/(x-r₂) + ... + 1/(x-r_n)),

og vi ved fra ovenstående, at alle led i dette udtryk er > 0. Altså er

p'(x) > 0 for alle x > 1.

Heraf følger, at p(x) er voksende i intervallet [1, 2], og vi har da vist, at der må gælde

0 ≤ p(1) < p(2) = 3ⁿ

Vi vender nu tilbage til udtrykket for p(2):

p(2) = (2-r₁)(2-r₂)...(2-r_n) = 3ⁿ

Da hver af r_i er ≤ 1, er hver af faktorerne i p(2) da ≥ 1. Dermed har vi en øvre grænse for, hvor stor 2-r_i kan være, nemlig

2-r_i ≤ 3ⁿ , og dermed

2-3ⁿ ≤ r_i ≤ 1.

Dermed finder vi

0 ≤ 1-r_i ≤ 3ⁿ - 1,

således at vi kan skærpe grænserne for p(1) til

0 ≤ p(1) ≤ 3ⁿ - 1

Den sidste konklusion gik vist lidt for hurtigt. Vi fandt, at

0 ≤ 1-r_i ≤ 3ⁿ - 1

så sætter vi x_i = 1-r_i , og ønsker at finde en størsteværdi for p(1), drejer det sig om at finde maksimum for funktionen

f(x₁,...,x_n) = x₁ ... x_n på terningen 0 ≤ x₁ ≤ 3ⁿ -1 , ... , 0 ≤ x_n ≤ 3ⁿ - 1 , under bibetingelsen

(x₁+1) ... (x_n+1) = 3ⁿ .

Den sidste betingelse udtrykker, at (x₁,...,x_n) ligger på den n-dimensionale kugle med centrum (-1, -1, ..., -1) og radius 3. 

Vi kan vise, at (x₁,...,x_n) bestemt ved x₁+1 = 3, ... x_n+1 = 3 er et stationært punkt for f når (x₁,...,x_n) samtidig ligger på den nævnte kugle. Vi efterviser også, at f = 0 på alle terningen sideflader. Derfor er f i det stationære punkt et maksimum for den givne bibetingelse, og dermed får vi, at x₁ = ... x_n = 2, og dermed

0 ≤ p(1) ≤ 2ⁿ

Godt du påpegede at 0 ≤ p(1), der havde jeg selv været lidt hurtig i min udregning.

Det er dog først og fremmest "Vi kan vise, at (x₁,...,x_n) bestemt ved x₁+1 = 3, ... xn+1 = 3 er et stationært punkt for f når (x1,...,xn) samtidig ligger på den nævnte kugle. Vi efterviser også, at f = 0 på alle terningen sideflader. Derfor er f i det stationære punkt et maksimum for den givne bibetingelse, og dermed får vi, at x1 = ... xn = 2, og dermed" jeg hele tiden har været interesseret i. Altså, et argument for at 2ⁿ må være et maksimum for p(1). Jeg har dog svært ved at forstå, hvad du skriver, da jeg aldrig har arbejdet med dimensioner, kugler eller terninger :-)

 Jeg ville blive rigtig glad, hvis du ville kigge på dette! 

Med de n rødder r₁,r₂,...,r_n er

p(x)=(x-r₁)(x-r₂)...(x-r_n),  r_j≤1 og

p(2)=(2-r₁)(2-r₂)...(2-r_n)=3ⁿ,

Vi ønsker at bestemme mulige værdier for p(1)=(1-r₁)(1-r₂)...(1-r_n) Idet hvert led "(1-r_j)" i p(1) må være 0 eller større fordi r_j≤1, da må p(1)≥0. Idet man sætter r₁=1, r₂=-7, (r₃;r₄;...;r_n)=-1 opfyldes p(2)=1*9*3^n-2=3ⁿ, og p(1) antager værdien (1-1)*...=0*...=0. Vi kan altså kun indskrænke den nedre grænse for p(1) til 0 og mangler kun at bestemme a, så a bliver indst ulig i 0≤p(1)≤a (evt. <a)

Nu bemærkes at p(x) er voksende i intervallet [r_m2;2], hvor r_m2 er det største element i r₁,r₂,...,r_n, idet grafens ekstremumssteder må ligge i [r_m1;r_m2] da der er n reelle rødder, og det i modsat fald ville åbne muligheden for over n rødder i et n'te grads polynomium. (r_m1 er det mindste element i r₁,r₂,...,r_n).

Siden grafen er tvunget til at gå igennem (2;3ⁿ) vil p(1) antage sin højeste værdi når r_m er så lille som muligt, dvs. når r₁=r₂=...=r_n. (dette har jeg demonstreret vha. en graf, men det burde være rimelig intuitivt). Dette kan kun anvendes fordi p(x) er voksende i [r_m2;2].

Kun r1=r2=...=-1 opfylder både r1=r2=...=rn og (2-r₁)(2-r₂)...(2-r_n)=3ⁿ, hvorved p(1) antager værdien 2ⁿ

Altså er 0≤p(1)≤2ⁿ.

KOMMENTAR: At ekstremumssteder må ligge i [r_m1;r_m2] da der er n reelle rødder er ikke helt velbegrundet. Det er indlysende for n forskellige rødder, men ikke rigtig for multiple rødder, min logik siger mig dog at det må være sådan, men hvad synes du?