komplekse tal

I den første ligning finder du de 3 3. enhedsrødder. Der er tre forskellige løsninger eller rødder inden for de komplekse tal. Du skal også skrive 1 på den polære form

1 = 1•e⁰ⁱ . her skal du huske på, at for φ+p•2π/3, hvor p=0, 1, 2 har cos3φ samme værdi, og sin3φ har samme værdi.

Den fuldstændige løsning til z³ = 1 er da

z = cos(p•2π/3) + i sin(p•2π/3), hvor p = 0, 1, 2.

Da

i = e^iπ/2 , er den fuldstændige løsning til z³ = i  da

z = cos(π/6 + p•2π/3) + i sin(π/6 + p•2π/3) , p = 0, 1, 2

Analogt får vi i ligningen (z-i)⁸ = 1, at

z-i = cos(p•2π/8) + i sin(p•2π/8), p = 0, 1, ..., 7

1) Omskriv 1 til hhv. e⁰ⁱ, e^2πi og e^4πi. Kubikrødderne er nu e⁰ = 1, e^2πi/3 = cos(2π/3) + i*sin(2π/3) og e^4πi/3 = cos(4π/3) + i*sin(4π/3).

2) Samme fremgangsmåde. i omskrives til e^πi/2, e^5πi/2 og e^9πi/2. Hvad er kubikrødderne så?

3) Sæt w = z-i. Det giver ligningen w⁸ = 1. Denne løses med samme fremgangsmåde som i 1), men nu har du 8 løsninger. Til sidst findes z så som w + i.

der står jeg skal indtegne løsningerne bagefter. er du så sikker på det su skriver ? :S

Tegn dem ind på enhedscirklen. For z³ = 1 kan du let tegne den relle rod z = 1. De to andre ikke-reelle rødder ligger på enhedscirklen ±120^o fra z = 1.

der står:

indtegn for hver ligning løsningerne i det komplekse talplan

Ja, det var det, jeg beskrev for den første ligning i #4.

er der ingen der har en messenger vi kan skrives over. det går hurtigere. så jeg forhåbentligt bedre forstår.

min tid stresser mig.

Har du prøvet at tegne? Har desværre ikke messenger adgang lige her, hvor jeg sidder.

hvis jeg ska være helt ærlig så ved jeg ik hvordan de skal indtegnes. fordi har ikk haft med komplekse tal at gøre mere end for nogle dage siden . og har skulle skrive mange sider om det. men det jeg har gjort er at jeg har sat 1i på den imaginære . og 1 på den reelle.. altså det er hvad jeg har indtegnet. ??

De ligninger du har haft med at gøre i denne tråd har alle haft den særlige egenskab, at der for en løsning a til disse ligninger gælder, at

|z| = 1.

Med |z| mener vi modulus af det komplekse tal. Når vi afbilder komplekse tal i den komplekse talplan, anskueliggjort i planen med realdel langs x-aksen, og imaginærdel langs y-aksen, er modulus |z| lig med længden af vektoren Oz, hvor O er koordinatsystemets begyndelsespunkt, der repræsenterer tallet 0.

Alle de komplekse tal, der opfylder |z| = 1, ligger i den komplekse talplan på en cirkel med centrum O or radius 1. Vi kan her afmærke, f.eks. tallet 1 = 1 + 0i = (1, 0), og tallet i = 0 + 1i = (0, 1).

Et kompleks tal z med |z| = 1 er således entydigt bestemt ved vinklen φ fra den reelle akse til vektoren Oz. Dette tal kalder vi argumentet for z. Kender vi argumentet (og antager fortsat, at |z| = 1), kan vi skrive

z = cosφ + i sinφ = e^iφ .

Det interessante ved denne fremstilling er, at vi kan multiplicere to sådanne komplekse tal med modulus 1 ved at addere deres argumenter. Lad z være givet som før med argument φ, og lad w være et kompleks tal med modulus 1 og argument θ. Da har vi

zw = e^iφ e^iθ = (cosφ + i sinφ) (cosθ + i sinθ) = cosφ cosθ - sinφ sinθ + i (cosφ sinθ + sinφ cosθ) = cos(φ+θ) + i sin(φ+θ) = e^i(φ+θ)

Rødderne i ligningen z³ = 1 fandt vi ovenfor til at være

z = cos(p•2π/3) + i sin(p•2π/3), hvor p = 0, 1, 2 .

For p = 0 får vi tallet z = 1 + 0i = (1, 0).
For p = 1 får vi tallet z = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -0,5 + i (√3)/2 = (-0,5 , (√3)/2 )
For p = 2 får vi tallet z = cos(2•2π/3) + i sin(2•2π/3) = -0,5 - i (√3)/2 = (-0,5 , -(√3)/2 )

De to sidste rødder ligger på enhedsciklen ±2π/3 = ±120^o fra tallet 1.