Indskrevne og omskrevne cirkel

1) r = 1/2 , cirklens diameter = kvadratets side

2) r = 1/2 √2 tan22,5^o = (2 - √2)/2 (tangenterne er (√2)/2, buen for den udspændte korde er 135^o)

3) r = (√5 -1)/4 (de hosliggende tangenter er 1/2, buen for den udspændte korde er π-φ, hvor tanφ = 2)

4) r = (√5)/2 (radius er hypotenuse i en retvinklet trekant med kateter 1/2 og 1)

5) r = √2 / (√2 + 1) ,    ( 1 = r + r/√2)

Andersen mangler du ikke 6?

Hvor står resultaterne og det er lidt svært at overskue hvad du har lavet, kan du forklare yderlige, please? :)

Tusind gange tak på forhånd!

Jo, jeg mangler #6, helt korrekt; men lidt hjælp er vel bedre end ingen hjælp? Det var, hvad jeg lige kunne komme på under morgenmaden. Opgaven gik ud på at finde cirklens radius i hvert af de 6 tilfælde, hvor det var givet, at kvadratet havde sidelængde 1. Resultaterne står ud for hvert nummer i #5. Jeg har forsøgt at skitsere, hvad jeg lagde til grund for mine resultater. Du skal nok følge med på din tegning og tegne lidt selv.

OK, her kommer så 6)

6) Her finder du r ved betragtninger af retvinklede trekanter:

r + x = 1  (radius plus et stykker, der også er katete i en retvinklet trekant)

x² + (1/2)² = r² (den retvinklede trekant har kateter x, 1/2, og har hypotenuse r)

Heraf x = 1 - r, der indsættes i den 2. ligning:

(1 - r)² + (1/2)² = r² , hvoraf

1 - 2r + r² + 1/4 = r² , eller

2r = 5/4, dvs

r = 5/8

Mange tusind tak får hjælpen.

Jeg er nød til at sidde lidt og kigge på opgaverne, før jeg forstår, det du har lavet, men jeg er meget taknemmelig for din hjælp.

Kære Andersen11

Jeg har siddet længe med dine svar, og kan slet ikke overskue, hvad du har lavet udover den 1. Er det muligt at du kan hjælpe mig med det, på sådan en rigtig begynder niveau? Jeg er meget taknemmelig for dine svar, men jeg kan f.eks. ikke overskue hvor tan22,5 kommer fra, og √2. Sådan er det også på de andre opgaver.

Endnu en gang tusind, tusind tak for dine svar, men er det muligt at du kan hjælpe yderligere?

Jo, jeg vil godt skrive det op lidt mere udførligt; men jeg skal lige samle mine noter sammen fra diverse papirlapper. Udtrykket med tan22,5^o kommer fra halvering af en vinkel på 45^o . √2 kommer ofte fra hypotenusen i en ligebenet retvinklet trekant med katete 1. Giv mig lige en dags tid til at få det på plads.

Jeg skal her forsøge at vise lidt mere udførligt, hvordan jeg kom frem til udtrykkene for r i de 6 tilfælde. I hvert tilfælde er kvadratet givet med sidelængde 1, og en cirkel er defineret i forhold til kvadratet ved at være indskrevet i eller omskrevet omkring visse dele af kvadratet. Opgaverne går ud på at beregne cirklens radius r (med kvadratets sidelængde sat til 1).

I det følgende benævner jeg kvadratets vinkelspidser A, B, C, D med A nederst til venstre, B øverst til venstre, C øverst til højre, og D nederst til højre. Cirklens centrum kalder jeg O. Så skal det ikke nævnes ved hver opgave.

1) Her er cirklen indskrevet i kvadratet ABCD. Cirklens diameter er da lig med kvadratets sidelængde, så r = 1/2 .

2) Her er kvadratet delt af en af dets diagonaler, AC, og cirklen er indskrevet i trekanten ACD, så ciklen netop rører siderne AC, AD, og CD. Lad cirklens røringspunkt med AC være P, røringspunktet med CD være Q, og røringspunktet med AD være R. Da AC, CD, og AD er tangenter til cirklen, er det klart, at OP (en radius i cirklen) er vinkelret på AC, OQ er vinkelret på CD, og OR er vinkelret på AD. Det er også klart, at punktet P deler AC i to lige store dele. Da AC er diagonal i kvadratet med sidelængde 1, er |AP| = |AR| = |CP| = |CQ| = √2 / 2 . Vi ser nu, at ROQD er et kvadrat med sidelængde r, og APO, AOR, CQO, og COP er kongruente retvinklede trekanter hver med kateter r og √2 / 2 . Vi kan nu sammensætte arealet af den store trekant ACD, der har arealet 1/2, som summen af arealerne af de 4 mindre kongruente retvinklede trekanter plus det lille kvadrat med side r. Altså har vi

1/2 = 4•1/2•(√2)/2•r + r² = r√2 + r² eller r² + √2 r -1/2 = 0.

Her har vi en 2.-gradsligning i r, hvis positive rod er r = (2-√2)/2 = 1 - (√2)/2

3) Her er kvadratets øverste side BC halveret ved punktet E, trekanten AED er tegnet, og cirklen er indskrevet i trekanten AED. Lad cirklen røre AE i P, ED i Q, og AD i R. Da |BE| = |EC|, og |AB| = |CD| og vinklerne ABE og ECD er rette, er trekanterne ABE og DCE kongruente, så |AE| = |ED|, og dermed ses, at trekanten AED er ligebenet. Yderligere står radierne OP, OQ, og OR vinkelret på henholdsvis AE, ED, og AD. Det er også klart, at R halverer AD, så vi har nu, at |AP| = |AR| = |RD| = |DQ| = 1/2. Liniestykket AE er hypotenuse i en retvinklet trekant ABE med kateter 1 og 1/2, så af Pythagoras følger, at |AE|² = 1² + (1/2)² , og dermed |AE| = (√5)/2 . Vi ser nu, at trekanten AED er delt op i 4 kongruente retvinklede trekanter med kateter r og 1/2, plus 2 kongruente retvinklede trekanter med kateter r og (√5)/2 - 1/2 . Da trekanten AED har grundlinie AD, der er side i kvadratet, og højde ER, der er lig med kvadratets side, er arealet af trekant AED lig med 1/2. Altså har vi nu

1/2 = 4•(1/2•1/2•r) + 2•(1/2•((√5)-1)/2•r) = r + ((√5)-1)/2•r = ((√5)+1)/2•r og dermed

r = 1/(√5 + 1) = (√5 - 1)/4

4) Her er cirklen delt af en diameter og kvadratet ABCD er indskrevet i den ene halvdel af cirklen, således at AB ligger på cirklens diameter. Cirklens centrum O ligger da på siden AB, og det er klart af symmetrigrunde, at O må halvere AB. Liniestykket OC er radius i cirklen, og OBC udgør en retvinklet trekant med kateter 1/2 og 1 og hypotenuse r. Altså får vi af Pythagoras at

r² = (1/2)² + 1² = 1/4 + 1 = 5/4, så r = (√5)/2

5) Her tangeres cirklen af to af kvadratets sider AB og AD, således at C ligger på cirklen. Lad cirklens røringspunkt med AB være P, og med AD være Q. Da er radien OP vinkelret på AB, og radien OQ vinkelret på AD. Vi forlænger liniestykket QO til skæring med BC i R. Det er klart, at ABPQ er et rektangel med sidelængder 1 og r, og at trekant OPC er retvinklet med hypotenuse r og den ene katete |OP| = 1-r, da |QP| = 1, og |QO| = r. Altrså fås den anden katete |PC| af Pythagoras til

|PC|² + (1-r)² = r² , eller |PC| = √(2r - 1) . Nu er |BC| = 1, og |BP| = r, så |BP| + |PC| = 1, dvs

1 = r + √(2r - 1), hvoraf (1 - r)² = 2r - 1 eller r² - 4r + 2 = 0, eller (r - 2)² = 2, dvs r - 2 = ±√2 . Da vi også har at 1-r = √(2r-1) , skal vi vælge den af de to rødder, der er < 1, altså r = 2 - √2 . Dette er også r = √2 / (√2 + 1)

6) Her tangeres cirklen af siden AB således at C og D ligger på cirklen. Lad cirklens røringspunkt med AB være R. Cirklens radius OR er vinkelret på tangenten AB, og lad os trække dens forlængelse til skæring med siden CD i S. Da CD og AB er parallelle og RS er vinkelret på AB, er den også vinkelret på CD. De to trekanter OCS og ODS er da retvinklede med OS fælles og |OC| = |OD| = r, så trekanterne er kongruente. Dermed er |SC| = |SD| = 1/2, og dermed er |AR| = |RB| = 1/2. Vi ser, at |BP| = r, |BC| = 1, og PC er katete i en retvinklet trekant med den anden katete 1/2 og hypotenuse r. Altså er |PC|² + (1/2)² = r² , og r + |PC| = 1, så

|PC|² = (1-r)² = r² - (1/2)² , hvoraf 1 - 2r + r² = r² - 1/4, eller 2r = 1 + 1/4 = 5/4, og dermed r = 5/8 .

Hermed har vi fundet cirklens radius r i de 6 betragtede tilfælde.

Mange tak for hjælpen.

Jeg har lige udskrevet det, så jeg kommer til at læse det i nat.

Håber at jeg forstår det.

Mange tak!

Velbekomme da. Det var en sjov lille opgave. Da jeg begyndte at skrive det ned i detaljer, gik det op for mig, at 2) og 3) blev meget simplere ved at kigge på arealer af trekanter, og jeg undgik helt at bruge tangensregler for halve vinkler.

Hvis du mener det var brugbart, må du da godt markere det.

Det var helt bestemt brugbart! Og jeg er meget glad for dine svar, har endelig forstået mere af det, men kommer til at forstå det hele, når jeg har læst det flere gange :). Mange tak.

Jeg har jo ikke leveret tegninger til min besvarelse, så jeg vil bestemt anbefale, at du laver tegninger, efterhånden som du arbejder dig igennem. Jeg har udførligt beskrevet, hvordan de enkelte punkter, jeg har brug for, fremkommer ved skæringer af allerede kendte linier.

Ja, det er jeg også i gang med :).

Det var svært at forstå det, da jeg kun går i 9. klasse, men har forstået det :).
 

Det er meget flot lavet, og forståeligt for en der slet ikke har haft noget om det.