Tangenter

Jeg forstår ikke lige, hvad du mener med, at cirklen har to punkter.

En retningsvektor for linien l er tværvektoren til normalvektoren, altså (8, 6), der har længden 10, så en enhedsvektor parallel med l er vektoren p = (4/5, 3/5).

Cirklen har parameterfremstillingen

r(t) = (x(t), y(t)) = 10 (cos t, sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π , og en vektor parallel med cirklens tangent i punktet (x(t), y(t)) er da

dr(t)/dt = 10 (-sin t, cos t) .

Tangenten er altså parallel med p , hvis -sin t = 4/5 og cos t = 3/5 , eller hvis -sin t = -4/5 og cos t = -3/5 . Vi behøver ikke regne ud, hvad t er, for vi skal kun bruge cos t og sin t for at beregne røringspunktet R på cirklen. Og der er to røringspunkter:

R₁ = 10 (3/5, -4/5) = (6, -8)  og R₂ = 10 (-3/5, 4/5) = (-6, 8).

Måske det var det, der mentes i starten med, at cirklen har to punkter.

Vi kunne også simplere have sagt, at radius til et punkt i cirklen er normal til tangenten i punktet, så radius vektor skal være parallel med liniens normalvektor (-6, 8), og da normalvektoren har længden 10, vil normalvektoren (-6, 8) eller dens modsat rettede vektor (6, -8) være stedvektor til røringspunkterne, hvor tangenten er parallel med linien.

#0 der er altså noget, der ikke rigtig stemmer overens i det du skriver, digitron7:

l:6x+8y-100=0 og normal vektoren for l er (-6 8)

Hvis ligningen er korrekt, så er normalvektoren altså:

#1 det var også en fejl jeg kom til at skrive, med at den har to punkter..

Jeg kan se at i facitlisten at røringspunktet er R(6,-8)

men jeg ved ikke hvordan jeg kan kommer frem til det

tangentligning:
 (a·x + b·y + c)√(a²+b²) = ±r

   (6·0 + 8·0 + c)√(6²+8²) = ±10

   c/10 = ±10

   c = ±100

da l har ligningen
                             6x + 8y - 100 = 0
har

n ligningen            6x + 8y + 100 = 0            da tangenterne har samme normalvektor

radius er vinkelret på tangenten i røringspunktet
hvorfor
            linjen gennem centrum og gennem røringspunkterne
har parameterfremstillingen

              (x,y) = (0,0) + t·(6,8)
dvs
         x = 6t
         y = 8t

som indsat i cirkelligningen x² + y² = 100
giver
         (6t)² + (8t)² = 100

         36t² + 64t² = 100
         100t² = 100

          t = ±1

   hvoraf røringspunkterne

          R₁ = (x,y) = (0,0) + 1·(6,8) = (6,8) som er l's røringspunkt
          R₂ = (x,y) = (0,0) + (-1)·(6,8) = (-6,-8) som er n's røringspunkt
 

#4 som sagt kom jeg til at skrive at den har to punkter ved fejl, den har kun et punkt og facit til den er R(6,-8), og dens normal vektor er (-6    8)..

Hvordan kunne man så beregne den??

#5
genlæs #2!

 enten
            er facitlisten forkert
eller
            tangentligningen 6x+8y-100=0 er forkert

I min bog er selve punktet opgivet til at være P(-6,8) derfor siger jeg OP = -6 -0 og 8-0 derfor er normalvektoren (-6    8)

dens ligning er l:-6x+8y-100=0

jeg kom til at skrive forkert

Hvilken fremgangsmåde vil man kunne bruge for at løse den??

#8

Så vil jeg sige, at min fremgangsmåde i #1 kan bruges, og at der er to mulige røringspunkter, med mindre der er andre oplysninger (ud over dem, du har givet), der kan bruges til at bortvælge det ene.

#7

røringspunkt i (-6, 8) og en tangent med ligningen -6x+8y-100=0 passer godt overens :-)

#4 redigeret efter ændring af oplæg:

tangentligning:
 (a·x + b·y + c)√(a²+b²) = ±r

   (-6·0 + 8·0 + c)√((-6)²+8²) = ±10

   c/10 = ±10

   c = ±100

da l har ligningen
                             -6x + 8y - 100 = 0
har

n ligningen            -6x + 8y + 100 = 0            da tangenterne har samme normalvektor

radius er vinkelret på tangenten i røringspunktet
hvorfor
            linjen gennem centrum og gennem røringspunkterne
har parameterfremstillingen

              (x,y) = (0,0) + t·(-6,8)
dvs
         x = -6t
         y = 8t

som indsat i cirkelligningen x² + y² = 100
giver
         (-6t)² + (8t)² = 100

         36t² + 64t² = 100
         100t² = 100

          t = ±1

   hvoraf røringspunkterne

          R₁ = (x,y) = (0,0) + 1·(-6,8) = (-6,8) som er l's røringspunkt
          R₂ = (x,y) = (0,0) + (-1)·(-6,8) = (6,-8) som er n's røringspunkt

.................

i overensstemmelse med #1
 

Hvorfor gør du dette: cirkelligningen x² + y² = 100

cirkelligning

         x² + y² = 10²

         x² + y² = 100

OKey

hvordan kan du se at den ene er for n og den anden for l ?

#15

Det vil sikkert blive helt klart, når hele opgaven er formuleret.