Ellipsens areal

Går du stadigvæk i gymnasiet? Arealet kan bestemmes ved udregning af et planintegral, hvor 1-funktionen integreres over en ellipse.

Ja, jeg går stadigvæk i gymnasiet :p

Ok, så må jeg jo prøve det. Det du mener, at jeg skal prøve er, at finde arealet af ellipsen ved at finde rumfanget for elipsen hvor z skal være mellem 0 og 1, eller har jeg misforstået dig?

y^2/b^2+x^2/a^2=1 er ligningen for den elliptiske cylinderflade. Hvad er det du vil finde? Du siger arealet. Er det arealet af endefladen i cylinderen? Eller er det rumfanget af cylinderen?

#3: Mon ikke Razor blot mener arealet af en ellipse, som overskriften siger? I øvrigt skriver han i #2, at z skal ligge mellem 0 og 1, så han er da klar over, hvad du mener med 1-funktionen.

Det andet er rumfanget af en elliptisk cylinder ;-)

//Singularity

Jeg tror ikke, at Razors problem bliver løst ved at man henviser til at integrere indikator-funktionen (1-funktionen) over den pågældende ellipse i planen.

Razor, 1-funktionen for din ellipse er en funktion af to variable, x, y, der er defineret ved at den giver 1, hvis (x, y) ligger inden for ellipsen, og 0 hvis (x, y) ligger uden for.

Hvis du forestiller dig et 3-dimensionalt koordinatsystem x, y, z, så ligger din ellipse jo nede i x-y-planen; grafen for 1-funktionen er en tilsvarende ellipse, der ligger i højden z=1 over den oprindelige ellipse. Uden for ellipsen er grafen sammenfaldende med x-y-planen.

At integrere 1 funktionen er det samme som at finde rumfanget af den cylinder, der udspændes af din egen ellipse og grafen for 1-funktionen.

Men! Dette rumfang findes jo som arealet af ellipsen gange højden (og højden er 1). Så denne løsning på opgaven løser ingenting - vi står stadig tilbage med at skulle finde arealet af ellipsen.

At integrere f(x) = kvrod( b^2(1-(x^2/a^2)) ) er ikke let, er dette en opgave du har fået eller hvad? Man må kunne bruge den samme fremgangsmåde med arcsin, som man kan bruge ved cirkelen, har dog lige tid til at regne efter...

Nuvel, her kommer et forslag til beregning af ellipsens areal via enkeltintegraler.

Vi ser på ellipsen givet ved ligningen

(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1

og udnytter, at denne tydeligvis er symmetrisk om begge koordinatsystemets akser. Vi begrænser os til 1.kvadrant, hvor

y = sqrt[b^2(1 - x^2/a^2)]

Ved at integrere funktionen

f(x) = sqrt[b^2(1 - x^2/a^2)]

fra x=0 til x=a beregnes derfor det kvarte areal af hele ellipsen. Det er ikke nemt at integrere f, men hvis vi til en start skriver

b^2(1-x^2/a^2) = (b^2/a^2)*(a^2 - x^2)

så er

f(x) = (b/a)*sqrt(a^2 - x^2) (1)

Vi udnytter nu den nyttige identitet

1 - sin(v)^2 = cos(v)^2

til at få

a^2 - a^2(sin(v)^2) = a^2(1-sin(v)^2) = a^2*cos(v)^2

så dette motiverer (jf. (1)) substitutionen

x = a*sin(v) (2)

Idet 0 <= x <= a og y>=0, restringerer vi v til

0

Vi har af (2), at

dx = a*cos(v)dv (3)

og

sqrt(a^2 - x^2) = sqrt(a^2*cos(v)^2) = a*cos(v) (4)

Nu kombinerer vi (1), (3) og (4) til

(b/a)*int[a*cos(v)*a*cos(v)dv] = (ab)*int[cos(v)^2)dv]

idet a og b er konstanter. Og cos(v)^2 kan vi integrere ved hjælp af dobbeltvinkelformlen

cos(2v) = cos(v)^2 - sin(v)^2 = 2cos(v)^2 - 1 <=> cos(v)^2 = (1/2)*(1+cos(2v))

så alt i alt har vi

(ab)*int[cos(v)^2)dv] = (ab/2)*int[(1 + cos(2v))dv]

nedre grænse: v = 0
øvre grænse: v = pi/2

En stamfunktion til 1+cos(2v) er

v + (1/2)sin(2v)

så vi finder til sidst, at det kvarte areal af ellipsen er

(ab/2)*[pi/2 + 0 - 0) = pi*(ab)/4

Ellipsens areal er følgelig

pi*(ab)

hvilket faktisk er det korrekte resultat. Bemærk, at heri er indeholdt cirklens areal pi*a^2, idet cirklen (a=b) som bekendt er et specialtilfælde af en ellipse.

//Singularity