Matematik

Laplacetransformation

13. februar 2005 af Bumle90 (Slettet)

Hej. Jeg er igang med at lære laplacetransformationer.
Mit problem er at jeg ved ikke hvordan jeg laplacetransformerer et produkt af to funktioner.
Altså hvordan finder jeg fx. L{f(t)}=L{e^-t*cos(t)}

Mange hilsner herfra

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. februar 2005 af Peden (Slettet)

Så vidt jeg husker er det noget rigtigt møg. Det hedder vist en "foldning" eller "convultion", prøv at slå det op på google.

Mere kan jeg desværre ikke hjælpe med, det var heldigvis ikke en del af vores pensum til differentialligninger kurset ;)

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. februar 2005 af 404error (Slettet)

Du udregner Laplacetransformen af produktet - der er ingen nem løsning i det generelle tilfælde. Det er der imidlertid for dit eksempel. Såfremt vi skriver

L[f(t)]=int_{t>0} f(t)exp(-p*t)dt =: F(p),

for p reel eller kompleks, så er det let at se, at

L[f(t)*exp(-a*t)]=F(a+p),

for a ligeledes reel eller kompleks. Du skal altså blot kende Laplacetransformen for cos, og den står sikkert i en af dine tabeller.

Svar #3
13. februar 2005 af Bumle90 (Slettet)

hmm jeg ser. Så man kan altså ikke generelt set bruge foldingsreglen til at udregne Laplace til produktet af to funktioner som vist foroven?

Jeg tror ikke jeg er helt med på hvad der er løsningen på spørgsmålet lektieguru :)
Du skriver:
L[f(t)]=int_{t>0} f(t)exp(-p*t)dt =: F(p),

Hvor er det du har fået det fra?
og int_{t>0) samt :=
hvad mener du med de notationsformer?
Håber ikke jeg spørger for dumt her. Mange hilsner og tak for interessen

Svar #4
13. februar 2005 af Bumle90 (Slettet)

Det skal lige siges at med symbolet * mener jeg et gange tegn og ikke et foldningstegn.

Men kan man løse to funktioner ganget med hinanden der skal laplacetransformeres vha. foldningsreglen?

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. februar 2005 af iB (Slettet)

#2
Havde det i dette tilfælde ikke været lige så enkelt at bruge 1. skift teorem? 1. skift kan jo netop bruges på et produkt, hvor det ene led er e^at.

Formel:
L{e^at*f(t)}=F(s-a) hvor F(s)=L{f(t)} og a er en konstant

Den er måske lidt mindre gennerel en convultionen, men jeg vil da mene den kan bruges her.

Svar #6
14. februar 2005 af Bumle90 (Slettet)

aha...javel ja. Det er også den der hedder forsinkelsesreglen ikke sandt?

Lige et enkelt tillægsspg. (håber det er i orden)

L{d''(t)}
Altså diracus funktionen dobbelt afledet. Hvis jeg skal finde laplace til den vil jeg umidelbart mene jeg skal bruge differentiationsreglen så jeg får noget ala

s^2*L{d(t)}-s*d(0)-d'(0)=
s^2-s*inf-d'(0)

,
L=Laplace
d=diracus funktionen
*=multiplicér
inf=uendelighedstegn

Er det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. februar 2005 af 404error (Slettet)

#3: Notationen {t>0} for integrationsområdet er kort for

{t : t>0}.

Symbolet := betyder 'lig med per definition'. Andre bruger et lighedstegn med tre streger, andre igen et lighedstegn med en trekant over.

#5: Var det ikke også, hvad jeg foreslog?

#6: Nej, det er ikke korrekt. Det bør du også indse, når du skal trække uendeligt fra et udtryk - det er ej veldefineret. Du kan ikke bruge differentiationsregnereglen, eftersom den kun finder anvendelse på tilpas pæne funktioner. Diracs deltafunktion er ikke engang en funktion; det er en såkaldt distribution eller generaliseret funktion. Den n'te afledede af deltafunktionen kan imidlertid defineres som

int D^n delta(t) f(t)dt = -int D^(n-1) delta(t) D f(t) dt,

hvor D^n er den n'te ordens differentiationsoperator. Prøv nu at anvende dette i forbindelse med Laplacetransformen.

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. februar 2005 af iB (Slettet)

#7
Hov var lidt for træt endnu engang. Koncentrerede mig lidt for meget om bumles svar i #3 end hvad du faktisk skrev i #2...

Skriv et svar til: Laplacetransformation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.