Intergralregning! Hjælp, tak!

Vær så artig:

pi*S([1+ln(x)]^2)dx (a=1 b=e) =

Pi(2e-1)


Duffy

Zizmo:

Jeg tolker dit indlæg således, at du skal finde voluminet af omdrejningslegemet, som fremkommer ved at rotere punktmængden

M = {(x,y)E R^2 | 1

omkring x-aksen, idet f: R+ -> R er den ved forskriften

f(x) = 1 + ln(x)

definerede funktion.
___________________________________

Det er velkendt, at dette volumen V kan beregnes som

V = pi*int[f(x)^2 dx]

med de relevante grænser, a og b. I dette tilfælde er a=1 og b=e.

Vi har

f(x)^2 = 1 + ln(x)^2 + 2*ln(x)

Lad mig gennemgå, hvorledes man finder en stamfunktion til ln(x)^2. Stamfunktioner til 1 og 2*ln(x) er lette at finde.

Vi bruger partiel integration;

int[f(x)*g(x)dx] = F(x)*g(x) - int[F(x)*g'(x)dx]

idet vi sætter

f(x) = g(x) = ln(x)

Så er

F(x) = x*ln(x) - x
g'(x) = 1/x

F(x)*g(x) = x*ln(x)^2 - x*ln(x)
F(x)*g'(x) = ln(x) - 1

og dermed

int[F(x)*g'(x)dx] = x*ln(x) - 2x + k

hvor k E R er en integrationskonstant, som dog elimineres, når man udregner det bestemte integral. Så

int[ln(x)^2 dx] = x*ln(x)^2 - 2x*ln(x) + 2x + k

Integrér nu 1 og 2*ln(x) og beregn til sidst V.

//Singularity

#1: Enig ;-)

Tja, opgaven er straks mere interessant, hvis man rent faktisk skal vise, hvorledes voluminet beregnes ved hjælp af stamfunktioner og ikke bare bruge grafregneren til at beregne V. Så er det på med vanten og integrér :-)

//Singularity

Pyhaa! Det var godt !

Denne her gang overlod jeg det til
Maple V ... det er ikke lige altid jeg har tid til at bruge knofedt!

[int(Pi*(1+ln(x))^2,x=1..exp(1));]

Denne her er nu også sjov:

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=IM0117935E.2&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffunction.en


Iøvrigt ca. 13,9378...



Duffy