Komplekse tal

Da (n+1)⁴ = (n+1)(n+1)(n+1)(n+1) kan beregnes for ethvert reelt tal og er et helt tal, når n er et helt tal, må svaret være, at det er tilfældet for alle hele tal n (positive, negative, og 0).

Hvorfor gav du opgaven titlen Komplekse tal? Har jeg misforstået opgaven?

#1

Hov, undskyld har lige opdaget, at jeg har skrevet forkert, der skal stå "i" i stedet for 1... :s

Ja, det ændrer jo sagen lidt.

Så skal du se på, hvornår (n+i)⁴ bliver reelt og helt. ganger du parenteserne ud fås

(n+i)⁴ = n⁴ + 4in³ - 6n² - 4in + 1 .

Imaginærdelen af dette er

4n³ - 4n ,

så hvis 4n³ - 4n = 0 , forsvinder imaginærdelen, altså når

4n(n²-1) = 0 ⇒ 4n(n+1)(n-1) = 0 ⇒ n = -1 eller n = 0 eller n = 1

Men hvorfor sætter man imaginærdelen lig med 0?

#4 - Fordi for et komplekst tal, der er reelt, er imaginærdelen 0. For n reel og hel har vi

 Re((n+i)⁴) = n⁴ -6n² + 1 , og

Im((n+i)⁴) = 4n³ - 4n

At (n+i)⁴ er reelt, betyder at dets imaginærdel er 0 .