Matematik
Bestemmelse af koordinat
01. marts 2005 af
Jensus (Slettet)
Hej.
Jeg har en ellipse, givet ved en vektorfunktion hvor x(t) = 1+4*cos(2t) og y(t) = 1+2*sin(2t).
Jeg skal bestemme koordinaterne til skæringerne med akserne. Jeg har fundet "den positive skæring" med både x og y akserne ved at sætte hhv. x(t) og y(t) til 0, og fundet t-værdierne, og derefter indsat dem i ligningerne.
Den isolerede t værdi for y(t)=0 er -0,26. Den isolerede t værdi for x(t)=0 = 0,91
Men hvordan finder jeg "de negative værdier"? Jeg ved at y-aksen skæres i ca. -1 og x-aksen skæres i ca. -2,4, men hvordan beregner jeg det?
Jeg har en ellipse, givet ved en vektorfunktion hvor x(t) = 1+4*cos(2t) og y(t) = 1+2*sin(2t).
Jeg skal bestemme koordinaterne til skæringerne med akserne. Jeg har fundet "den positive skæring" med både x og y akserne ved at sætte hhv. x(t) og y(t) til 0, og fundet t-værdierne, og derefter indsat dem i ligningerne.
Den isolerede t værdi for y(t)=0 er -0,26. Den isolerede t værdi for x(t)=0 = 0,91
Men hvordan finder jeg "de negative værdier"? Jeg ved at y-aksen skæres i ca. -1 og x-aksen skæres i ca. -2,4, men hvordan beregner jeg det?
Svar #1
01. marts 2005 af Epsilon (Slettet)
Trigonometriske grundligninger som
sin(x) = a
cos(x) = a
hvor a E ]-1;1[, har to løsninger for x E [0;2*pi], jf. enhedscirklen.
Ellipsens afskæring af x-aksen hhv. y-aksen leder til løsning af ligningerne;
sin(2t) = -1/2 (1)
cos(2t) = -1/4 (2)
Af (1) fås
2t = arcsin(-1/2) = -pi/6 og
2t = pi-(-pi/6) = 7*pi/6
eftersom supplementvinkler har samme sinus;
sin(v) = sin(pi-v)
Dermed har vi, at
x(-pi/12) = 1+4*cos(-pi/6) = 4.464...
x(7*pi/12) = 1+4*cos(7*pi/6) = -2.464...
Skæringspunkterne mellem ellipsen og x-aksen er derfor
(-2.464... , 0) og (4.464... , 0)
På tilsvarende vis indses af (2), at skæringspunkterne med y-aksen er
(0 , -0.936...) hhv. (0 , 2.936...)
hvilket jeg overlader til dig at vise.
//Singularity
sin(x) = a
cos(x) = a
hvor a E ]-1;1[, har to løsninger for x E [0;2*pi], jf. enhedscirklen.
Ellipsens afskæring af x-aksen hhv. y-aksen leder til løsning af ligningerne;
sin(2t) = -1/2 (1)
cos(2t) = -1/4 (2)
Af (1) fås
2t = arcsin(-1/2) = -pi/6 og
2t = pi-(-pi/6) = 7*pi/6
eftersom supplementvinkler har samme sinus;
sin(v) = sin(pi-v)
Dermed har vi, at
x(-pi/12) = 1+4*cos(-pi/6) = 4.464...
x(7*pi/12) = 1+4*cos(7*pi/6) = -2.464...
Skæringspunkterne mellem ellipsen og x-aksen er derfor
(-2.464... , 0) og (4.464... , 0)
På tilsvarende vis indses af (2), at skæringspunkterne med y-aksen er
(0 , -0.936...) hhv. (0 , 2.936...)
hvilket jeg overlader til dig at vise.
//Singularity
Skriv et svar til: Bestemmelse af koordinat
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.