Cirklens ligning

1. linjens ligning findes ved at bruge disse to formler:

A(x₁, y₁) B (x₂ ,y₂)

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

b = y₁ -ax₁  , eller  b = y₂ - a x₂

linjens ligning skal derefter være

y = ax +b

ciklens ligning findes ved at sætte ind i denne formel

(x - a)² + (y - b)² = r²     , hvor cirklens centrum er C(a, b)

Find ligningen for den linje, der går igennem centrum for cirklen og som står vinkelret på den linje, du har fundet. Den vil skære cirklen i det søgte punkt. Alternativt kan du finde normalvektoren  til den linje du gar fundet. Gang den med et tal så længden af denne vektor bliver lig med radius. Hvis du afsætter denne vektor ud fra cirklens centrum vil du ramme cirklen i det søgte punkt eller det diametralt modsatte punkt. I det sidste tilfælde skal du blot skifte fortegn på vektoren.

jeg har beregnet afstanden fra cirklens centrum og hen til midst på linjen og får 6,4, men så kan jeg heller ikke komme videre. ???

 linjen:              y = -(3/4)x + (49/4)

eller                 3x + 4y - 49 = 0         med normalvektor n = [3,4]

cirklen:
                       øvre halvcirkel:    y = 2 + √(25-(x-3)²)
                       nedre halvcirkel : y = 2 - √(25-(x-3)²)
på en skitse
ses, at
det søgte punkt, P_o(x_o,y_o) ligger på øvre halvcirkel, således at n afsat ud fra C(3,2) peger ud på linjen
hvoraf
                       da n er retnigsvektor for linjen gennem C og P_o

                                            CP_o = OP_o - OC = [3,2] + t·[3,4]  og  t>0
eller
                       x = 3 + 3t
                       y = 2 + 4t
som indsat
i øvre halvcirkels
                          ligning : y = 2 + √(25-(x-3)²)             giver

                                      (2+4t-2)² = 25-(3+3t-3)²       som reduceres til

                                      25t² = 25 og t>0

                                      t = 1                                       som indsat i

                       x_o = 3 + 3t
                       y_o = 2 + 4t                                             giver

                       x_o = 3 + 3·1 = 6
                       y_o = 2 + 4·1 = 6

det punkt på cirklen (x-3)² + (y-2)² = 5²
som har mindst afstand til linjen y = -(3/4)x + (49/4)
er
                      P_o(6,6)
 

Lige et par spørgsmål :

Hvordan finder du frem til :

øvre halvcirkel: y = 2 + √(25-(x-3)2)
nedre halvcirkel : y = 2 - √(25-(x-3)2)

?? skal der ikke står 16 istedet for 25 , idet radius af cirklen er 4 ??

og hvordan finder du frem til:

x = 3 + 3t
y = 2 + 4t

??

korrektion for ændring af radius 5 → 4:
som indsat
i øvre halvcirkels
                          ligning : y = 2 + √(16-(x-3)²)             giver

                                      (2+4t-2)² = 16-(3+3t-3)²       som reduceres til

                                      25t² = 16 og t>0

                                      t = (4/5)                                  som indsat i

                       x_o = 3 + 3t
                       y_o = 2 + 4t                                             giver

                       x_o = 3 + 3·(4/5) = 27/5 = 5.4
                       y_o = 2 + 4·(4/5) = 26/5 = 5.2

det punkt på cirklen (x-3)² + (y-2)² = 5²
som har mindst afstand til linjen y = -(3/4)x + (49/4)
er
                      P_o(5.4 ; 5.2)
 

på en skitse
ses, at
det søgte punkt, P_o(x_o,y_o) ligger på øvre halvcirkel, således at n afsat ud fra C(3,2) peger ud på linjen
hvoraf
                       da n er retnigsvektor for linjen gennem C og P_o

                                            OP_o = OC + CP_o = [3,2] + t·[3,4]  og  t>0
eller
                       x_o = 3 + 3t
                       y_o = 2 + 4t   og t>0

er det muligt at løse opgaven uden vektor-regning, da jeg endnu ikke har lært det endnu (: ??

Ja
             Det søgte punkt ligger på linjen m gennem C(3,2) vinkelret på linjen
             y = -(3/4)x + (49/4)
hvorfor
             m har hældningskoefficient (4/3)      (produktet af ortogonale linjers hældningskoefficienter er -1)

dvs
             m:  y = (4/3)x + b gennem(3,2)
                   2 = (4/3)·3 + b
                   b = -2
hvoraf         y = (4/3)x - 2

det søgte punkt ligger både på øvre halvcirkel og på linjen m
hvilket kræver
                   y = 2 + √(16-(x-3)²)   og  y = (4/3)x - 2  og  3<x<7 (ses af skitsen)
hvoraf
                   (4/3)x-2 = 2 + √(16-(x-3)²)
                  
                    x = (27/5) = 5.4                      som indsat i y = (4/3)x - 2 giver
                    y = 5.2

hvordan udregnede du m's hældningskoefficient , og hvad betyder "produkt af ortogonale linjers hældningskoefficienter er -1" ??

og når man isolerer y i cirklens ligning hvad er der så blevet af resten af cirklens ligning:

(x-3)+(y-2)=16

i det du skriver:

y = 2 + √(16-(x-3)^2)

hvad er der så blevet af 2^2 og 4x som også burde være tilbage ??

og når man isolerer y i cirklens ligning hvad er der så blevet af resten af cirklens ligning:

(x-3)+(y-2)=16

i det du skriver:

y = 2 + √(16-(x-3)^2)

hvad er der så blevet af 2^2 og 4x som også burde være tilbage ??

og når man isolerer y i cirklens ligning hvad er der så blevet af resten af cirklens ligning:

(x-3)+(y-2)=16

i det du skriver:

y = 2 + √(16-(x-3)^2)

hvad er der så blevet af 2^2 og 4x som også burde være tilbage ??

            a₂·a₁ = -1

            a₂ = -a₁^-1 = -(-(3/4))^-1 = -(-(4/3)) = (4/3)

........................
           

            (x-3)² + (y-2)² = 4² 

            (y-2)² = 16-(x-3)²

            y-2 = ±√(16-(x-3)²)

            y = 2±√(16-(x-3)²)