Matematik

Kuglens overflade mindre end...

08. marts 2005 af b00g3ym4n (Slettet)

Kuglens overfladeareal er mindre end kassens overfladeareal selvom de har samme rumfang, så vidt jeg husker.. Er der et matematisk bevis for at dette er sandt.?

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. marts 2005 af 404error (Slettet)

Overfladearealet A_B af en kugle med radius R er

A_B = 4*Pi*R^2,

og dens rumfang V_B er

V_B = (4/3)*Pi*R^3.

Hvis en kasse med lige store sidelængder har rumfang V_B, så er sidelængden (V_B)^(1/3). Dermed er overfladearealet af kassen

6*V_B^(2/3) = 6*(4/3*Pi)^(2/3)*R^2.

Så skal du blot overbevise dig om, at

(3/2)*(4/3*Pi)^(2/3) > Pi.

Det er ikke vanskeligt.

Naturligvis bør man heller ikke ukritisk tage formlerne for overfladeareal og volumen af kuglen givet - dog kræver bevis for disse formler kendskab til integralregning for funktioner af flere variable.

Svar #2
08. marts 2005 af b00g3ym4n (Slettet)

Hvorfor blev (V_B)^(1/3) til V_B^(2/3)?

Og hvor blev R pludselig af...? Kan den elimineres af en eller anden årsag..?

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. marts 2005 af 404error (Slettet)

Hvis l = V_B^(1/3) er sidelængden i kassen, så er arealet af en enkelt af kassens flader givet ved l^2=V_B^(2/3). Dem er der 6 af, overfladearealet er derfor som anført. Jeg har ikke elimineret R, men blot konstateret at

6*V_B^(2/3)=6*(4/3*Pi)^(2/3)*R^2.

Bemærk sammenhængen mellem højresiden i ovenstående og formlen for A_B. Der ses at gælde

6*V_B^(2/3)>A_B,

hviss

(3/2)*(4/3*Pi)^(2/3) > Pi.

Svar #4
09. marts 2005 af b00g3ym4n (Slettet)

Undskyld det første spørgsmål (Hvorfor blev (V_B)^(1/3) til V_B^(2/3)?).. Det var et pænt stupid spørgsmål... Lækkert bevis.! Studerer du mat eller er du bare syg sig til at huske den slags..? :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. marts 2005 af 404error (Slettet)

Jeg studerer matematik, ja ;)

Svar #6
09. marts 2005 af b00g3ym4n (Slettet)

Hvordan fik du denne højreside ->

6*(4/3*Pi)^(2/3)*R^2 ?

Pisse træls, at det er super logisk, når man ikke kan se sammenhængen med det samme... :(

Brugbart svar (0)

Svar #7
09. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: I Anders' fravær vil jeg tillade mig at besvare spørgsmålet.

Ifølge velkendte potensregneregler har vi

(a*b^m)^n = (a^n)*(b^(m*n)) (1)

Kuglens rumfang er

V_B = (4/3)*Pi*R^3

Med a = (4/3)*Pi, b = R, m = 3 og n = 2/3 følger det da af (1), at

6*V_B^(2/3) =
6*[(4/3)*Pi*R^3]^(2/3) =
6*(4/3*Pi)^(2/3)*(R^(3*2/3)) =
6*(4/3*Pi)^(2/3)*R^2

//Singularity

Skriv et svar til: Kuglens overflade mindre end...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.