Matematik

Differentialligning

30. maj 2010 af bombay22 (Slettet)

I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t(målt i døgn). Den hastighed, hvormed N(t) vokser til tiden t, er proportional med produktet af antallet af individer til tiden t og forskellen mellem 10^6 og antallet af individer til tiden t.

a)Opskriv en differentialligning, som N(t) må opfylde når proportionalitetsfaktoren er 2*10^-8.

b)Bestem en forskrift for N som funktion af t, når det antages at antal individer til tiden t = 0 er 200000.

3)Bestem antal individer i populationen, når væksthastigeden er størst.

Jeg har lavet de to første, men kan simpelthen ikke finde ud af den sidste. Jeg ville mene at væksthastigheden er størst ved ½ M, men ved det har jeg stadig to ubekendte i ligningen ?

N*(t)=(20*10^-8)*N(50000-N)

Brugbart svar (1)

Svar #1
30. maj 2010 af mathon

antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t(målt i døgn). Den hastighed, hvormed N(t) vokser til tiden t, er proportional med produktet af antallet af individer til tiden t og forskellen mellem 10^6 og antallet af individer til tiden t

antallet af individer i en population betegner N(t) = N
Den hastighed, hvormed N vokser til tiden t = dN/dt
forskellen mellem 10⁶ og antallet af individer til tiden t = (10⁶ - N)

a) dN/dt er proportional med produktet af N og (10⁶ - N)

dN/dt = a·N·(10⁶ - N)

dN/dt = 2·10^-8·N·(10⁶ - N)

b)
dN/dt = a·N·(10⁶ - N)
har løsningen
N = 10⁶/(1+C·e^{-a·10^6·t})

N(t) = 10⁶/(1+C·e^-0,02t)
hvoraf
N(0) = 2·10⁵ = 10⁶/(1+C)

0,2 = 1/(1+C)

1+C = 1/0,2 = 5

C = 4

N(t) = 10⁶/(1+4·e^-0,02t)

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.