andengradsfunktion, tredjegradsfunktion og fjerdegradsfunktion

Andengradspolynomier har et ekstrema. tredjegradspolynomier har 0 eller 2 ekstremaer, fjerdegradspolynomier kan have 1, 2 eller 3 ekstremaer.

For nemheds skyld antager jeg at en funktion starter med at vokse. Hvis funktionen starter med at aftage skal man blot bytte om på voksende og aftagende.

Når funktionen kommer til det første ekstrema vil funktionen ændre sig fra at vokse til at aftage. Efter næste ekstrema vil den ændre sig til at vokse, Næste igen til at aftage. Generelt vil en funktion med et lige antal ekstremaer ende med at vokse, hvis den startede med at vokse. Med et ulige antal ekstremaer vil den ende med at vokse,hvis den startedede med at vokse.

I et polynomium af grad n vil leddet med xⁿ dominere for x ->±oo  hvis n er lige vil xⁿ -> oo for x -> ±oo. For x ulige vil xⁿ -> -oo for x -> oo og xⁿ -> oo for x -> oo. Et lige polynomium med koefficienten til xⁿ > 0 vil derfor starte med at aftage og ende med at vokse. Et ulige polynomium vil starte med at vokse og ende med at vokse.  Et lige polynomium vil derfor have et ulige antal ekstremaer et ulige polynomium et lige antal ekstremaer.

I et ekstremum er f'(x) = 0. For et n'te gradspolynomium  er den afledede et n-1'te gradspolynomium, som kan have op til n-1 rødder og hvor et ulige polynomium altid vil have mindst en rod. Sæt det sammen med ovenstående og man får resultatet i #1 med undtagelse af den sidste. Et fjerde grads polynomium kan kun have et ulige antal rødder, så der kan kun være 1 eller 3 ekstremaer. Hvis der er 2 løsninger til f'(x) = 0 er der vendetangent for den ene rod.

Prøv evt. at illustrere med  en graf.

Jeg er lidt usikker på hvad du mente med
"I et polynomium af grad n vil leddet med xn dominere for x ->±oo hvis n er lige vil xn -> oo for x -> ±oo. For x ulige vil xn -> -oo for x -> oo og xn -> oo for x -> oo. Et lige polynomium med koefficienten til xn > 0 vil derfor starte med at aftage og ende med at vokse. Et ulige polynomium vil starte med at vokse og ende med at vokse. Et lige polynomium vil derfor have et ulige antal ekstremaer et ulige polynomium et lige antal ekstremaer."

Hvordan kan det så være at en fjerdegradsfunktion kan have et lige ekstrema? Er det fordi som du skrev at der var en vendetangent?

Tak for det hurtige svar!

Et fjerdegradspolynomium kan have et ulige antal ekstremaer nemlig højst 3 ekstremaer og mindst 1 og dermed 1 eller 3 ekstremaer. Et eksempel på 1 ekstrema er x⁴. For x < 0  er funktionen aftagende og for x > 0 er den voksende. Hvad vil der ske hvis man adderet nogle led så den havde 1 ekstrema mere for eks. i x = 2. Så vil funktionen i x=2 skifte fra at være voksende til at være aftagende i x=2 og altså være aftagende for x > 2. . Det er i modstrid med at x⁴ -> oo for x ->oo så det kan altså ikke lade sig gøre. Hvis der yderligere var et ekstrema i x = 3 går det. Så vil polynomiet være voksende for x > 3, hvilket er helt i orden.

I tilfældet med 1 ekstrema kan der være en vendetangent; men der behøver ikke at være det. Hvis vi holder fast i at det ene ekstrema er i 0 kan f'(x) skrives som x*(x²+bx+c)  Hvis diskriminanten for andetgrads polynomiet  er negativ er der ingen rødder og så er der ingen vendetangent. Er diskriminanten 0 er der en dobbeltrod. Er denne dobbeltrod 0(eller generelt det samme som roden i det lineære udtryk -i eksemplet  x- , som er ganget på polynomiet vil der være en tredobbelt rod og der vil ikke være nogen vendetangent ( eksempel x⁴) Er dobbeltroden forskellig fra roden i det lineære udtryk vil der være 2 forskellige rødder og der vil være en vendetangent. Endelig er der så muligheden for 3 forskellige rødder, hvilket giver 3 ekstremaer og ingen vendetangent.