Logaritmer

  se evt.

hej Mathon, først, tak for hjælpen, men jeg har svært ved at forstå meget af dit dokument, og jeg har også svært ved at forstå det der står i bogen. Måske kan du forklare det i ord, altså en gennemgang af logaritmer og grafen, hvis du altså har tid.

Jeg er ikke den skarpeste mht til logaritmer :)

1 . 

a = e^x , b = e^y => x = log(a)  ,  y = log(b)

log(e^x*e^y) = log(e^(x+y)) = x+y = log(a) + log(b)

2 . Er forholdsvis simpel hvis du kan bevise de to andre :P

log(a/b) = log(a*b^-1)

log(a*b^-1) = log(a) + log(b^-1) = log(a) + (-1)*log(b) = log(a) - log(b)

3 . Ved jeg ikke hvordan du skal bevise, jeg troede lidt det var en definition af logaritmefunktionerne.

  logaritme-funktioner, λ(x), er

                             en afbildning af R₊ på R
  således at,
                             λ(a•b) = λ(a) + λ(b)
  og
                             λ(1) = 0

                             λ(grundtallet) = λ(g) = 1
 

λ forstår jeg ikke hvad er, er det ikke lambda, fra fysik?

R+ på R ved jeg heller ikke hvad du mener med :s

det er mere fordi
                                  log(x) sædvanligvis er reserveret 10-tals-logaritmen,
så
                                  f(x) eller λ(x)

så f(x) = λ(x)?

                              λ(b•(a/b)) = λ(a) =  λ(b) + λ(a/b)
hvoraf
                              λ(a/b) = λ(a) - λ(b)
 

  for n∈Z₊:

                                                                 n faktorer                          n addender
                                              λ(aⁿ) = λ(a·a·a·............·a) = λ(a) + λ(a) + λ(a) + ................ + λ(a) = n·λ(a)
  hvoraf
                                              λ(aⁿ) = n·λ(a)

  logaritmefunktionerne
  defineres, så
  for x∈R₊:
                                               λ(a^x) = x·λ(a)
 

  specifikt
                     kaldes logaritme-funktionen med grundtallet e
                     for den naturlige logaritme =  logarithem natural = ln(x)

                    kaldes logaritme-funktionen med grundtallet 10
                    for 10-tals-logaritmen = log(x)

                    ln(x) = ln(10)•log(x)

                    log(x) = (1/ln(10))•ln(x) = ln(x)/ln(10)

..........................

yderligere detaljer ses i svar #1

Sammenhængen mellem logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner er, at de er hinandens omvendte (inverse).
Enhver eksponentialfunktion f(x) = a^x (0<a<1 og a≠1) er monoton og dermed injektiv. Derfor har den en omvendt funktion og denne kaldes den tilsvarende logaritmefunktion g(x) = log_a(x).
a^ og Log_a "ophæver hinanden" lige som √ og ^2 "ophæver hinanden" , dvs. at Log_a(a^x) = x og a^Log_a(x) = x

Hvis grundtallet a = 10 har  f(x) = 10^x den omvendte funktion Log₁₀(x) = Log(x) (Titalslogaritmen)
Log(10^x) = x og 10^Log(x) = x

Hvis grundtallet a = e har  f(x) = e^x den omvendte funktion Log_e(x) = Ln(x) (Den naturlige logaritme)
Ln(e^x) = x og e^Ln(x) = x

Hvis grundtallet a = 2 har  f(x) = 2^x den omvendte funktion Log₂(x) (Totalslogaritmen) osv.
Log₂(2^x) = x og 2^Log₂(x) = x
Af alle disse logaritmer, benyttes i praksis kun Ln og Log.

Se evt. vedhæftede oversigt.