Differentialligning

Hejsa

Hvis du skal have noget ud af dette svar skal du bruge den "KLAMME HÅNDS PRINCIP" - (se evt min profil)

Nåh, men jeg har kigget lidt på det:


"En bestemt populations størrelse y, målt i antal individer,
er en funktion af tiden x, målt i døgn. Det antages, at y er
en løsning til en differentialligning af typen
dy/dx = ay(M-y).
Øvre grænse for populationens størrelse er 1000 individer,
og til tiden 0 døgn er populationens størrelse 100 individer.
På det tidspunkt, hvor populationens størrelse er 300 individer,
er den hastighed, hvormed den vokser, 20 individer pr. døgn.
Bestem en forskrift for y som funktion af x."



Det drejer sig om LOGISTISK vækst:

dy/dx = y(b-ay) (*)


der har løsning


y = (b/a)/(1+ce^(-bx)) (**)



Så vi omskriver lige

dy/dx = ay(M-y)

til noget vi kan genkende:


ay(M-y) = y(aM-ay)

og sætter aM = b

så vi nu har det på formen (*)


(b/a) = 1000 da (1+ce^(-bx)) i (**) går mod 1

for x -> uendelig.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

For x = 0

er y = 100

dvs

vi nu kan finde c ved at løse:

100 = 1000/(1+ce^(-b*0)) = 1000/(1+c)

hvilket giver

100 = 1000/(1+c)

100(1+c) = 1000

100+100c = 1000

100c = 900

c = 9


&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&


y = (b/a)/(1+9e^(-bx)) (**)

20 = 300(b-a*300) (*)


20 = 300*1000*-90000*a

20+90000*a = 300*b


da [b = 1000*a]


20 = 210b

b = 2/21

a = 2/21000


¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Vi kan nu opskrive hele løsningen:


y = (b/a)/(1+ce^(-bx)) (**)


y = 1000/(1+9*e^(-(2/21)*x)) (**)



Duffy

Mange tak for hjælpen Duffy.