Matematik

trigonometri

19. marts 2005 af axell (Slettet)

Hej

Sider og bikser med en lille opgave, der lyder sådan:

I et xy-koordinatsystem går linien l gennem punktet A(3,1) og afstanden fra punktet B(5,4) til l er 3.

Beregn hældningkoefficienten for l.

Men hvordan kan jeg overhovedet regne noget ud, når jeg ikke har ligningen for punkt A eller endnu et punkt, så jeg kan finde ligningen for l?

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. marts 2005 af Duffy

Prøv at plotte punkterne ind i et koordinatsystem.

Så ser du hurtigt af linien med ligningen

y = 1 er den ene af de 2 løsninger der er.

Tegn en cirkel med centrum i B og med radius 3.

Dine linier l skal da være tangenter til cirklen.

For at finden den anden løsning skal du regne
på en trekant hvor hypotenusen er liniestykket
|AB|.

Prø nu.

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. marts 2005 af Duffy

Nåh, ikke??!

Hvis du tegner så ser du at vinklen mellem de 2 mulige tangenter må være
2*arctan(3/2).

Vinklen fra vandret og ned til linien vil da være de resterende "op til 180°"
, hvilket ved udregning giver

-67,3901°

- dette er den søgte hældning.

(Behøver jeg at sige at hældningen for linien med ligningen y = 1 er nul??)

Duffy

Svar #3
20. marts 2005 af axell (Slettet)

For mig at se er der kun en linie, der tangerer og det er linien med punkt A.

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. marts 2005 af Duffy

"I et xy-koordinatsystem går linien l gennem punktet A(3,1)"

...skriver du.

Altså går linien l gennem punktet A.
Dette punkt ligger klart uden for omtalte cirkel. LAV EN TEGNING!!!!!

Gennem et punkt uden for en cirkel er det ALTID muligt at tegne 2 tangentlinier.
(Prøv evt at vippe linien omkring punktet).

Duffy

Svar #5
20. marts 2005 af axell (Slettet)

Punkt A ligger jo på cirklen. |AB| er 3 og dette er radius. Hvordan vil du vippe linien. Den skal jo ligge 90 grader på radius.

Kan det ikke lade sig gøre at finde hældningskoefficienten for linien |AB| og så bruge formlen:

alfa * beta = -1

?

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:

Nej, punktet A(3,1) ligger ikke på cirklen med centrum i B(5,4) og radius r=3, eftersom

dist(A,B) = sqrt((5-3)^2 + (4-1)^2) = sqrt(13) > 3

Prøv engang at tegne situationen efter Duffys instruks i #1. Så vil du opdage, at der er to linier, som indeholder A og tangerer cirklen.

Kald tangentpunkterne for C hhv. D, hvor C har koordinatsættet (5,1). Linien gennem A og C har tydeligvis ligningen y=1 (jf. #1) og dermed hældning 0.

Betragt nu trekanterne ABC hhv. ABD. Størrelsen af vinkel A i hver af trekanterne er let beregnet;

sin(A) = r/dist(A,B) = 3/sqrt(13)

hvoraf

2A = 2*arcsin(3/sqrt(13)) = 112.619...deg

Bemærk, at 2A er vinklen regnet fra førsteaksen til tangenten gennem A og D. Hældningen alfa for den anden tangent er derfor;

alfa = tan(2A) = tan[2*arcsin(3/sqrt(13))] = -12/5

eksakt. Tjek selv, at det er korrekt.

//Singularity

Svar #7
20. marts 2005 af axell (Slettet)

Ok, sandt nok. Der står ikke noget om at |AB| skal være tre.

Iøvrigt ved jeg ikke hvad arctan er.

Svar #8
20. marts 2005 af axell (Slettet)

Iøvrigt, hvorfra kommer (3/2) i 2*arctan(3/2). Ja, det er kateterne regner jeg med, men de må være aflæst i koordinatsystemet. Der står ikke noget i opgaven om, at man skal tegne.

Axell

Svar #9
20. marts 2005 af axell (Slettet)

Ok, jeg har nu kigget grundigt på det og forstår det bedre.

Tak for en god hjælp.

Axell

Skriv et svar til: trigonometri

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.