lineær algebra

Gang med C (=A^-1) på begge sider af ligningen Ax=0.

Jonathan:
Riquelme har ret. Da CA = I, er C den inverse matrix til A; C = A^(-1). Endvidere har vi, at

C(Ax) = (CA)x

idet matrixmultiplikation er associativ. Så

(CA)x = Ix = x = C*0 = 0

og ligningen Ax = 0 har derfor kun den trivielle løsning.

//Singularity

hmm er der ikke noget med, at C er invers til A hvis og kun hvis
CA=I OG AC=I, eller hvad?

#3: Jo, ganske rigtigt, men der er en kommutativitetsegenskab som sikrer, at CA = I hviss AC = I, altså at en venstreinvers til A automatisk er en to-sidet invers til A. Derfor er CA = I ækvivalent med, at C er den inverse til A.

Vi kan uden indskrænkning antage, at AC = I og vise, at CA = I (det omvendte udsagn fås ved ombytning af A og C).

Da AC = I, har ligningssystemet Ax = b en løsning for enhver b E R^n; x = Cb er en løsning;

A(Cb) = (AC)b = Ib = b

Det betyder, at A er rækkeækvivalent med identitetsmatricen I. Derfor eksisterer en følge af elementærmatricer E1, E2, ... , Ek, så

(Ek*...*E2*E1)A = I

Da matrixmultiplikation er associativ, har vi

(Ek*...*E2*E1)*(AC) = (Ek*...*E2*E1*A)C

og da AC = I og (Ek*...*E2*E1)A = I, følger det, at

(Ek*...*E2*E1)*(AC) =
(Ek*...*E2*E1)*I =
Ek*...*E2*E1

og

(Ek*...*E2*E1*A)C = I*C = C

Heraf ses, at

Ek*...*E2*E1 = C, så CA = I, som ønsket.

//Singularity