Matematik

MA: differentialligning

03. april 2005 af Markus (Slettet)

Ohøj. Jeg har flg. differentialligning:

dy/dx=0,05y(20-y). f(1)=5.

Jeg skal finde den værdi af x, for hvilken dy/dx antager sin størsteværdi.

Hvordan? :)

Hjælp værdsættes...

Svar #1
03. april 2005 af Markus (Slettet)

Løsningsfunktion er

f(x)=20/(1+8,155e^(-x)).

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. april 2005 af MMøller (Slettet)

så er det bare at finde maksimum

Svar #3
03. april 2005 af Markus (Slettet)

Helt sikkert, men det er ikke sådan lige til.

Løste dy/dx=0 og fik:

x=0

Men det er ikke størsteværdi for dy/dx.

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. april 2005 af frodo (Slettet)

når du skal finde max for dy/dx, skal du naturligvis differentiere dy/dx og derved finde maksimum. altså d^2y/dx^2=0

Svar #5
03. april 2005 af Markus (Slettet)

Eksempel?

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. april 2005 af frodo (Slettet)

f(x)=..
f'(x)=...
f''(x)=....

løs ligningen f''(x)=0. Der ved finder du maksimum og minimum for f'(x).

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. april 2005 af Duffy

dy/dx er max i

x = 1+ln(3)

hvor løsningen til dit
logistiske vækst-problem er

y(x) = 20/(1+3*exp(1-x))

Duffy

Svar #8
03. april 2005 af Markus (Slettet)

#6: Virkelig?

Jeg har nu fundet ud af, hvorfor jeg ikke kan løse opgaven - det er ikke blevet gennemgået på mit hold endnu.

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. april 2005 af Duffy

#8:

Jamen dog!

Svar #10
23. april 2005 af Markus (Slettet)

#7 -> Hvordan? :>

Svar #11
23. april 2005 af Markus (Slettet)

Jeg er lidt lost så jeg vil sætte pris på mellemregninger (#7).

Brugbart svar (0)

Svar #12
23. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#11: Duffy har opskrevet den relevante løsning i #7;

y(x) = 20/(1 + 3*exp(1-x))

Bruges differentialligningen, har vi

dy/dx = 0.05y(20-y) = y - 0.05y^2 (*)

Observér, at så er

dy/dx = 60*exp(1-x)/(1 + 3*exp(1-x))^2

som er strengt positiv for alle x.
Differentiation af (*) giver

(d^2)y/dx^2 = dy/dx - 0.1y*dy/dx (**)

Eftersom dy/dx ikke var nul, er den anden afledede kun nul, hvis

y = 10

ifølge (**). Ergo;

10 = 20/(1 + 3*exp(1-x)) <=>
1 + 3*exp(1-x) = 2 <=>
exp(1-x) = 1/3 <=>
1-x = -ln(3) <=>

x = 1 + ln(3)

Vi mangler da blot at gøre rede for, at dette er maksimumsstedet for dy/dx. Men det er let, thi (d^2)y/dx^2 er kontinuert med fortegnsvariation

(d^2)y/dx^2 > 0 <=> y
(d^2)y/dx^2 < 0 <=> y > 10

jf. (**). Dette betyder netop, at dy/dx er (strengt) voksende i ]-infty; 1 + ln(3)] og (strengt) aftagende i [1 + ln(3); infty[, så dy/dx antager maksimum i x = 1 + ln(3), som påstået i #7.

//Singularity

Svar #13
24. april 2005 af Markus (Slettet)

Mange tak.!

Når du skriver

(d^2)y/dx^2 = dy/dx - 0.1y*dy/dx (**)

mener du vel

(d^2)y/dx^2 = dy/dx - 0.1y (**)

??

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. april 2005 af frodo (Slettet)

nej, der menes (tror jeg da) det der står. Begrebet kaldes vel egentlig implicit differentialregning. Det er ihvertfald det der gøres brug af.

Svar #15
24. april 2005 af Markus (Slettet)

Okay. Forklaring?

Brugbart svar (0)

Svar #16
24. april 2005 af frodo (Slettet)

y er en funktion, og y^2 skal derfor differentieres som en sammesat funktion:

d/dx(y^2)=y'*2y

Brugbart svar (0)

Svar #17
30. marts 2006 af KristianVJensen (Slettet)

Bare brug formlen M/2, da der er tale om logistisk vækst. Noget nemmere, og ligeså korrekt.

Skriv et svar til: MA: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.