Matematik
Forklaring af konvergens
Jeg har fundet følgende definition på en konvergent følge:
"Formelt kan man sige, at følgen konvergerer mod a, hvis der til ethvert positivt tal ε (uanset hvor lille) kan findes et naturligt tal N, således at for alle n ≥ N vil afstanden | an − a | være mindre end tallet ε. Definitionen kan skrives kortfattet med kvantorer: ∀ε>0 ∃ N ? N∀n?N : n≥N ⇒~|an-a| < ε
Er der en, der kan forklare det på en anden måde? Jeg kan godt forstå, at afstanden mellem det n'te led og grænseværdien skal være vilkårligt lille, for så konvergerer den, men jeg er ikke helt med på brugen a ε, og hvad n og N har med sammenhængen at gøre.
Svar #1
30. september 2010 af Andersen11 (Slettet)
En omformulering er dette: Uanset hvilket positivt tal ε man præsenteres for, findes der et naturligt tal N, sådan at samtlige elementer i følgen, der kommer efter aN er tættere på grænseværdien a end ε . Fra et vist trin N i følgen ligger alle elementerne tættere ved a end en foreskreven tolerance ε . Bemærk, at dette N afhænger af ε . Vælger vi et finere (mindre) ε1 , bliver det så fra et andet (sikkert større) trin N1 , at alle elelmenterne er tættere på a end ε1 .
Svar #2
01. oktober 2010 af Krabasken (Slettet)
ε (epsilon, græsk e) er en i matematikken vedtaget betegnelse for et tal, der kan blive så lille, det skal være. Elementerne i en talfølge har som bekendt numre (1,2,3,........n.........), og hvis din talfølge skal siges at konvergere mod a (for voksende n), vil der naturligvis være et n, fra hvilket alle de følgende elementer vil være så tæt på a, at differencen mellem an og a vil være meget lille (skrives | an-a |, da elementerne jo både kan nærme sig fra oven og fra neden).
Hvis vi vælger et meget lille tal (epsilon) som mål for denne difference, vil det altså fra et vist n (som vi betegner N) gælde, at alle følgende elementer vil opfylde kriteriet, at differencen < ε.
Og er det tilfældet, har vi lov at kalde talfølgen konvergent med grænseværdien a.
Skriv et svar til: Forklaring af konvergens
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.