differentialligning

princippet er nu dx/dy

altså 2x/2x=1

er ikke rigtigt forstået

dy/dx = limes ((x+h)² - x²)/h = 2x + 0 = 2x
             ^h→0
 

ok altså man finder funktionen af f(x) i forhold til f´(x) denne funktion er i dette tilfælde 2x

derefter sætter man f´(x)=2x og regner.

"man finder funktionen af f(x) i forhold til f´(x)"     er vrøvl

...man finder den relative funktionstilvæksts grænseværdi for x→x_o

ok jeg læste bare i min bog at man finder f´(x) i mange punkter. derefter stiller man f´(x) op som funktion af f(x) i en tabel og laver regresioen for at få en funktion af dette forhold.

kan du ikke prøve at skrive i trin kvordan man klarer f(x)=x^2 som differentialligning. måske jeg så bedre kan forstå princippet i det.

hilsen Frederik

funktionstilvækst
med udgangspunkt i (x_o,f(x_o))
h = x-x_o

                                Δf(h) = f(x_o+h) - f(x_o)

relativ funktionstilvækst

                                Δf(h)/h = (f(x_o+h) - f(x_o))/h

grænseværdien for den relative funktionstilvækst
for h → 0

                               limes Δf(h)/h = f '(x_o) = dy/dx

...................................

med f(x) = x²

funktionstilvækst
med udgangspunkt i (x_o,x_o²)
h = x-x_o

                                Δf(h) = (x_o+h)² - x_o²  = x_o² + 2x_oh + h² - x_o²  =  (2x_o+h)h

relativ funktionstilvækst

                                Δf(h)/h = ((2x_o+h)h) / h = 2x_o+h

grænseværdien for den relative funktionstilvækst
for h → 0

                               limes Δf(h)/h = f '(x_o) = dy/dx = 2x_o+h = 2x_o
                                ^h→0

ok det er jo bare tre trins reglen du har skrevet der. altså er dy/dx=f´(x) i et givet punkt.

jeg fostår så bare ikke hvordan man kommer videre forstået på den måde at her er der tale om en liniær f´(x) men hvad nu hvis denne ikke er liniær så har vi forskellige værdier for dy/dx.

hvis      

             limes Δf(h)/h = f '(x_o) = dy/dx
              ^h→0

     eksisterer

dvs
     hvis funktionen er differentiabel
er dy/dx éntydig

der er således slet ikke tale om
                                                              "...forskellige værdier for dy/dx..."   (som er vrøvl)

 ...så du kommer ikke til at forstå begrebet differentialkvotient, før du dropper denne begrebsstridige
    tankegang

ok jeg tror nok jeg er med. hvis jeg har forstået det rigtigt så bliver dy/dx til en anden funktion i andre tilfælde og ikke som her en liniær 2x men eks. e^kx

hvis

                      limes Δf(h)/h = f '(xo) = dy/dx
                       ^h→0

      eksisterer

dvs
hvis funktionen er differentiabel
er     dy/dx éntydig - men forskellig fra punkt til punkt

     der er således slet ikke tale om
      "...forskellige værdier for dy/dx..." i samme punkt

men
      dy/dx varierer naturligvis med værdien af x_o
og
      dy/dx = f '(x_o) er således en funktion

som i tilfældet

      f '(x) = 2x er lineær

men da dy/dx bare er f´(x_0)  så er der jo ikke noget nyt i det. det er bare det differentieret udtryk. hvor kommer differentialligningen så ind i det her

mængden af ordnede par
                                                 (y,y ')
                       
                                                 dy/dx = g(y)
som for
                 y = f(x) = x²

giver
                 (y,y ') = (x²,2x)

              
                 dy/dx = g(y) = ±2√(y)

ok og er vi så ikke der hvor y=f(x) og y´=f´(x) 

så må løsningen til differentialligningen også være noget i stil med f(x_0),f´(x_0); f(x_1),f´(x_1); f(x_2),f´(x_2) sat i et koordinatsystem og derefter lave regresion på dette. det må give det samme. og så tilbage til kommentar 2. det var netop det jeg skrev der. 

hvis du forestiller dig,
at du ikke kendte løsningen

              y = f(x) = x²

ville du have

..............................

             dy/dx = ±2√(y)   y≥0

og
            1/(2√(y)) · dy/dx = ±1                                         som integreret med hensyn til x
giver

           ∫1/(2√(y))·dy/dx dx = ∫±1dx

           ∫1/(2√(y))·dy = ∫±1dx

           √(y) = ±x + k                                                        gennem (0,0)

          √(0) = ±0 + k

            k = 0

dvs
           √(y) = ±x

           y = f(x) = x²
          
     
 

super godt. jeg er helt med nu. rigtig fed samtale her 1000 1000 tak for hjælpen

hilsen Frederik