Differentialregning

1) Som du har skrevet det, ser ligningen således ud:

y'(t) = 11t·y(t) + 11t = 11t·(1+y(t)) .

Den kan løses ved separation af de variable, idet man ser, at (y(t)+1)' = y'(t) . Sættes u(t) = y(t)+1 ser ligningen således ud

u'(t) = 11t·u(t), så

u'(t)/u(t) = 11t .

2)

2.-ordens Taylorpolynomiet udviklet fra t=0 ser således ud:

P(t) = f(0) + (f'(0)/(1!))·t + (f''(0)/(2!))·t² .

Man skal derfor beregne f(0), f'(0) og f''(0) af funktionen f(t) = cos(8t) + 10t·sin(8t)

Hej Andersen

Har først set dit svar nu. Hmm jeg har fået svaret til noget lidt andet i 1), men kan godt se det rigtige i det du gør.

I 2) skal jeg så bare indsætte den differentierede samt den dobbelt differentierede i formlen?

#2

I 2) skal du beregne f(0), f'(0) og f''(0). Det gøres ved at beregne f'(t) og f''(t) og så indsætte t=0 i de to udtryk.

Ok super. Mange tak.

Men i 1'eren er der ikke mere man skal gøre der? Fandt frem til en formel hvor man også skulle integrere.

#4

Jo, man skal jo løse ligningen. jeg omskrev ligningen, så den skulle være lettere at løse:

Benyt, at u'(t)/u(t) = (ln(u(t)))' , så der står

(ln(u(t)))' = 11t , hvoraf

ln(u(t)) = (11/2)t² + k, og dermed

u(t) = C·e^{(11/2)t^2} , og dermed ved substituition tilbage

y(t) = u(t) -1 = C·e^{(11/2)t^2} -1

Hvad med 2'eren. Hvad får du i resultat hvis du regner den ud?

#6

I 2) har vi f(t) = cos(8t) + 10t·sin(8t) , og dermed

f'(t) = -8·sin(8t) + 10·sin(8t) + 80t·cos(8t) = 2·sin(8t) + 80t·cos(8t) , og

f''(t) = 16·cos(8t) +80·cos(8t) -640t·sin(8t) = 96·cos(8t) -640t·sin(8t)

og dermed

f(0) = 1

f'(0) = 0

f''(0) = 96

så Taylorpolynomiet for f(t) udviklet ud fra t = 0 er da

P(t) = 1 +48·t²

Ok. Mange tak :). Fik det til nogenlunde det samme i første omgang.