Matematik

Grænseværdi

12. april 2005 af Export (Slettet)

Hvis jeg skal vise, at en funktion f : R -> R har en grænseværdi for x -> 0, er det så ikke det sammen som at vise, at

for ethvert epsilon > 0 eksisterer der et delta > 0, således at x

eller er det normen af x man skal kunne vurdere mindre end epsilon?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. april 2005 af 404error (Slettet)

Forudsat at bemeldte grænseværdi er nul, så er dit forslag næsten korrekt.

Hvis den formodede grænseværdi betegnes c, skal du vise, at der for ethvert epsilon > 0 findes delta > 0, så 0 < |x| < delta medfører |f(x)-c| < epsilon.

Svar #2
13. april 2005 af Export (Slettet)

Hmm ... jeg har da vist sovet i timen ... det jeg skal vise er faktisk, at en funktion f : R -> R har en grænseværdi for x -> uendelig. Er det så korrekt hvad jeg har foreslået?

Svar #3
13. april 2005 af Export (Slettet)

For dælen da også ... jeg prøver lige én gang til:

Jeg skal vise, at en given funktion f : R -> R har grænseværdien 0 for x -> uendelig.

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. april 2005 af 404error (Slettet)

Så skal du vise, at der for ethvert epsilon>0 findes L>0, så x>L medfører

|f(x)|

Bemærk, når grænseværdien er uendelig er tingene lidt anderledes end med sædvanlige grænseværdier - det giver eksempelvis ikke umiddelbar mening at tale om 'en åben kugle om uendelig'. Det kan derfor være nyttigt at erindre sig følgedefinitionen på grænseværdier: en funktion f har grænseværdien c for x gående mod x_0, såfremt f(x_n) går mod c for enhver følge (eller net) {x_n}, som konvergerer mod x. Så er det let at indse, at ovenstående faktisk er en ækvivalent definition på konvergens for x gående mod uendelig.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. april 2005 af 404error (Slettet)

Der skal selvfølgelig stå

... for enhver følge (eller net) {x_n}, som konvergerer mod x_0

Svar #6
13. april 2005 af Export (Slettet)

Takker!

Skriv et svar til: Grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.