Bestem interval hvor uendelig række er konvergent

Der gælder

∑_n=0^∝ (√x)ⁿ = ∑_n=0^∝ yⁿ , med y = √x

Rækken på højre side er konvergent for |y| < 1 , så den oprindelige række er konvergent for |√x| < 1, dvs for 0 ≤ x < 1.

Hvis du kalder kvrod(x) = y får du Σyⁿ. Dette er en kvotientrække som vides at konvergere for -1<y<1.Her kan y bare ikke antage negative værdier.

Tak for det begge to! Hvorfor konvergerer en kvotientrække for -1<x<1? Jeg kan ikke helt forstå hvorfor.

altså rækken

der bruger du i første om ratio-testen for at bestemme konvergens kriteriet. Derefter ser du på endepunkterne og her ud af udddrages konvergens intervallet.

#3

En uendelig række ∑_n=0^∝ a_n er en kvotientrække, hvis kvotienten mellem to på hinanden led i rækken er en konstant, altså hvis a_n+1/a_n = q . Summen af de n første led er da

s_n = ∑_j=0^n-1 a_j = a₀·(1-qⁿ)/(1-q) .

Da |q|ⁿ → 0 for n →∝ , for |q| < 1, ses det, at rækken konvergerer for |q| < 1.

Rækken ∑_n=0^∝ yⁿ er netop en kvotientrække med kvotient q = y .

#3 Er det her til Calculus kursus? Så slå op i afsnittet power series...
 

Tak for det begge to! Hvorfor konvergerer en kvotientrække for -1<x<1? Jeg kan ikke helt forstå hvorfor.

Okay. Tak. Hvad hvis den uendelige række eksempelvis hedder sum_n=0^infinity (1/(sqrt(x))^n)? Hvordan findes man så intervallet hvorpå den er konvergent?

Hvordan siges "f: I -> R" med ord?

#7

Det er jo stadig en variant af rækken ∑_n=0^∝ yⁿ , nu med y = 1/√x , så rækken er konvergent for |y| < 1 , dvs for 1/√x < 1, eller x > 1 .

Man siger "funktionen f fra I ind i R" .

Står R for reelle tal? Eller en reel funktion eller hvad?

#9

I og R er mængder. I bruges ofte om et interval, og R er normalt mængden af de reelle tal. Det betyder, at for x ∈ I er f(x) ∈ R . Det betyder dog ikke, at R er værdimængden V_f for funktionen, kun at V_f ⊆ R .