Egenværdi for operatorer

En tilstandsvektor behøver ikke at være en egenvektor; men kan skrives som en linearkombination af ortonormale basisvektorer.

Eksempel.

Lad |op> og |ned> være ortonomerede tilstandsvektorer der angiver en tilstand hvor spin af en partikel peger henholdsvis op og ned. En operator H der spørger  om spin , vil give værdien 1 hvis partiklen har spinnet 1 på den første og -1 på den sidste. En mulig tilstandsvektor er |x>=( |op> + |ned>)/kvrod(2) Operatoren H vil give tilstanden H|x> = (|op> - |ned>)/kvrod(2)

 Men så længe operatoren virker på tilstandsvektoren er den vel egenvektoren? 
Er det ikke selve definitionen på en egenværdi at:
Ala> = b * la>

Altså at operatoren A virker på tilstandsvektoren la>, og det vi kan måle er så en af egenværdierne for tilstandsvektoren, som f.eks. kan være tallet b. Eller er det hele min forståelse af idéen, der vakler. 

 Jeg har tænkt lidt over det og tror måske jeg forstår det bedre:
Tilstandene er selvstændige orthonormale vektorer i hilbertrummet. Man kan linearkombinere til en tilstandsvektor som du gør: lx> = (lop> + lned>)/kvrod(2)
Når operatoren virker på tilstandsvektoren fås en egenværdi således at:
Hlx> = b * lx> = lop>
Eller omvendt:
Hlx> = c * lx> = lned>
Hvor b og c er egenværdierne for op- og ned tilstandene.
Således er hvis spinnet er opad Hlx> = b * lx> = 1 * lx> = (lop> + lned>)/kvrod(2)
Mens den hvis spinnet er nedad:
Hlx> = c * lx> = (-lop> - lned>)/kvrod(2)
Dette ville give mening for mig, men det er jo ikke det samme som du skriver. Hvad gør jeg galt? 

Når Operatoren virker på en tilstandsvektoren får du egenværdien gange med tilstandsvektoren hvis og kun hvis denne tilstandsvektor er en egentilstand. Hvis operatoren virker på noget, der ikke er en tilstandsvektor, får du ikke dette. Det er det jeg har prøvet at illustrere med mit lille eksempel. Ud fra to egentilstande danner jeg en tilstandsvektor, som ikke er en egentilstand. Dernæst viser jeg at operatoren virkende på denne tilstandsvektor ikke giver noget, der er proportional med den oprindelige vektor.

Det er egentlig ikke meget andet end hvad der sker med lineære funktioner med ordinære vektorer.

Hvis du har en matrix A vil den fører en vektor over i en anden vektor. Der kan så her forekomme egenvektorer altså findes vektorer x for hvilket det gælder A*x = λ*x hvor λ er egenværdien. Her vil der også gælde at linearkombinationer af egenvektorer med forskellig  egenværdier ikke er egenvektorer.

 Så det er her man skal forstå, at tilstandsvektoren er en linearkombination af en række orthonormale enhedsvektorer, som udgør forskellige tilstande, og at sandsynlighedsamplituden for at tilstandsvektoren er en af de pågældende enhedsvektorer er den tilhørende konstant? 

Ja