Matematik
Overlevelseskurve
20. april 2005 af
Mads123 (Slettet)
Hvordan ville i løse denne ligning i "hovdet"?
50= 100*(e)^(0.0005*(1 - x) - 0.000867*((1.0914)^(x) - 1.0914))
Ved hjælp af computerprogram får jeg x=75,8.., men den siger også "more solutions may exist". Så nu skal jeg begrunde hvorfor der kun findes den ene løsning.
50= 100*(e)^(0.0005*(1 - x) - 0.000867*((1.0914)^(x) - 1.0914))
Ved hjælp af computerprogram får jeg x=75,8.., men den siger også "more solutions may exist". Så nu skal jeg begrunde hvorfor der kun findes den ene løsning.
Svar #1
20. april 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Umiddelbart vil jeg nok starte med at forkorte med 100 og så tage ln på begge sider. Prøv at se om det fører til noget brugbart.
Svar #2
21. april 2005 af Epsilon (Slettet)
Betragt funktionen f: R -> R givet ved
f(x) = 100*exp[0.0005*(1-x) - 0.000867*(1.0914^x - 1.0914)]
som er differentiabel (og dermed kontinuert). Sæt
g(x) = 0.0005*(1-x) - 0.000867*(1.0914^x - 1.0914)
h(x) = exp(x)
hvorved
g'(x) = -0.0005 - 0.000867*(1.0914^x)*ln(1.0914)
og
d/dx[h(g(x))] = h'(g(x))*g'(x) = g'(x)*h(g(x))
Vi har
f(x) = 100*h(g(x))
og dermed
f'(x) = 100*d/dx[h(g(x))]
Bemærk, at g'(x) < 0 for alle x, hvorved f'(x) < 0 for alle x, idet h(g(x)) > 0. Ifølge monotonisætningen er f derfor strengt aftagende, så ligningen
f(x) = 50 (*)
har maksimalt én løsning. Idet
f(0) = 100.0579...
f(100) = 0.409178...
og da f er kontinuert, ser vi, at ligningen (*) rent faktisk HAR en løsning; nærmere bestemt
x = 75.804...
//Singularity
f(x) = 100*exp[0.0005*(1-x) - 0.000867*(1.0914^x - 1.0914)]
som er differentiabel (og dermed kontinuert). Sæt
g(x) = 0.0005*(1-x) - 0.000867*(1.0914^x - 1.0914)
h(x) = exp(x)
hvorved
g'(x) = -0.0005 - 0.000867*(1.0914^x)*ln(1.0914)
og
d/dx[h(g(x))] = h'(g(x))*g'(x) = g'(x)*h(g(x))
Vi har
f(x) = 100*h(g(x))
og dermed
f'(x) = 100*d/dx[h(g(x))]
Bemærk, at g'(x) < 0 for alle x, hvorved f'(x) < 0 for alle x, idet h(g(x)) > 0. Ifølge monotonisætningen er f derfor strengt aftagende, så ligningen
f(x) = 50 (*)
har maksimalt én løsning. Idet
f(0) = 100.0579...
f(100) = 0.409178...
og da f er kontinuert, ser vi, at ligningen (*) rent faktisk HAR en løsning; nærmere bestemt
x = 75.804...
//Singularity
Skriv et svar til: Overlevelseskurve
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.