diff.ligninger

Løs diff.ligingen ved separation af de variable:

y'/y = 2x + 1,

ln(y) = x² + x + k

y(x) = C·e^{(x^2 + x)}

y(1) = 3 ⇒ C·e² = 3 ⇒ C = 3/e² , så

y(x) = 3·e^{(x^2 + x -2)}

Men det er slet ikke nødvendigt at finde løsningen. Tangenten til grafen for f(x) i punktet P(1,3) har ligningen

y = f'(1)·(x -1) + 3

og da f'(1) = (2·1 + 1)·f(1) = 3·3 = 9, har vi tangentens ligning

y = 9·(x -1) + 3 = 9x - 6

Monotoniforholdene findes ved at betragte fortegnsvariationen for f'(x) = f(x)·(2x +1) . Da f(x) > 0 for alle x, har f'(x) samme fortegnsvariation som funktionen 2x+1 .

 y' = y(2x +1)   kan omskrives til y' - (2x+1)y = 0

hvilket "passer på" diff.lign. typen y' + a(x)y = 0
som er en homogen lineær diff.funktion af 1. orden
hvor a(x) = -2x - 1

Denne diff.ligning har den fuldstændige løsning:     y(x) = ce^-A(x)

hvor A(x) er stamfunktion til a(x) = -2x-1 ⇒   A(x) = x²+x    (integrationskonstanten k udelades)

hvilket medfører:

y(x) = c·e^{x^2+x}

indsæt punktet P(1,3) og bestem c

 #1 Andersen11, - har du noget på skrift eller links til de er med separation af de variable ?

#3 pvm , nej det har jeg nu ikke. Hvis ligningen kan separeres, finder man jo stamfunktioner i y og x særskilt.

Men i denne opgave er det slet ikke nødvendigt at finde løsningsfunktionen, se #1.

 okay, det er bare fordi, jeg flere gange har bemærket, at du nævner separation af de variable, og det synes jeg virker lidt smart frem for at "bare" bruge løsningsmodeller, - problemet er bare, at jeg ikke har hørt om det før :-)

#5

Man kan bruge separation af de variable, hvis man kan isolere et udtryk med y og y' på den ene side, og et udtryk i x alene (uden y) på den anden side, f.eks. som her

y'/y = 2x + 1

Det omskriver man så som

(dy/dx) / y = 2x + 1 , og så laver man det fysiske tilsnit, at gange over med dx

dy / y = (2x + 1) dx, hvorefter man supplerer de manglende integraltegn

∫ (1/y) dy = ∫ (2x + 1) dx

Hvis man kan finde stamfunktioner til de to integrander, er man så hjemme, når man medtager en arbitrær konstant på den ene side:

ln(y) = (x² + x) + k

 Tak Andersen11, dit svar "krydsede" en besked, jeg skrev til dig direkte på din profil, bare se bort fra den, jeg fik svaret her.

Tak for det :-)

Peter

Helt i orden da, pvm. :-)

- Torben

tak for hjælpen... hvor er i dog søde :-)