Hermitesk operator

Det skal forstås som at operatoren A virker på tilstandsvektoren |a> . Dette giver så en ny tilstandsvektor |c>. Derefter skal <b|c> beregnes.

Jeg har benyttet betegnelserne i dit første afsnit.

 Okay, men det hjalp mig ikke så meget, men det er også ligemeget, for jeg tror jeg har den:
Ville det være korrekt at skrive:
Prikkes en operator A:
Σn,m(len>anm<eml)
med to vilkårlige vektorer la> og <bl da er:
<blAla> = Σn,m(<blen>anm<emla>)
Da <blen> og <emla> begge er tal er størrelsen <blAla> proportional med <enlAlem>, og dermed vil en definition på en hermitisk operator som: <enlHlem> = <emlHlen>* pga. proportionaliteten også være opfyldt for denne størrelse således at:
<blHla> = <alHlb>*
Hvis dette er rigtigt vil jeg nu engang tillade mig at være stolt af mig selv. 
I alt fald var mit egentlige spørgsmål, selvom det overhovedet ikke fremgik, hvorfor det følger udfra definitionen på en hermitesk operator som: <enlHlem> = <emlHlen>* at ligningen <blHla> = <alHlb>* er opfyldt. 
 

<a|b> er det indre produkt af de to vektorer a og b. Hvis a og b er euklidiske vektorer er det normale prikprodukt et indre produkt. I kvantemekanik er vores vektor rum dog ikke det euklidiske men det man kalder Hilbert rummet, som også er et vektor rum. At noget er et vektor rum betyder bare at det opfylder nogle bestemte regneregler. Helt specifikt er vores vektorer funktion som er kvadratisk integrable, dvs. det er funktion som man kan integrere når man har sat dem i ². Det indre produkt i Hilbert rummet defineres så som <a|b>=∫a·b*dx , dvs. integralet fra minus uendelig til uendelig af den første funktion a, gange den kompleks konjugerede af funktionen b. Så dette er hvad man mener med <a|b> Det man så mener med f.eks. <a|Ab> er at man anvender operatoren A på b, og derefter tager det ovennævnte indre produkt. denne operator kan f.eks. differentiere b, eller gange med konstanter osv. Definitionen af en hermitisk operator er så

<a|Ab>=<Aa|b>* for alle funktioner a,b i Hilbert rummet. dvs. man benytter operatoren på den anden funktion istedet for, men kompleks konjugerer det indre produkt, og hvis disse to ting er ens, siges ens operator A at være hermitisk.

Det er slet ikke nødvendigt at bringe baser ind i billedet for at forstå hermitiske operatorer som jeg kan se du roder med - det forvirrer egentlig mere.

 Jeg vil starte med en introduktion til lineære operatorer, egenværdier, hermiteske operatorer osv. først og først derefter gå over til at snakke om i hvilket vektorrum kvantemekanikken i f.eks. positionsrepræsentationen repræsenteres, og det er selvfølgelig rummet over square-integrable funktioner, så der gælder din definition på en hermitesk operatorer, men det er jo kun for dette rum.

Min definition af hermitisk operator gælder i et hvilket som helst vektorrum med et indre produkt, jeg nævnte bare hvilket rum og indre produkt man bruger i kvantemekanikken.

 hmm ja okay, når jeg nærlæser kan jeg godt se du har ret. Men uanset hvad skal jeg forklare matrix-idéen bag hermiteske operatorer, så jeg definerer en hermitesk operator som en operator A hvis matrices elementer transponeret og komplekst konjugeret er lig A. 
Men du kan jo stadig hjælpe med, om det er rigtigt vist, at en hermitesk operator opfylder <alHlb> = <blHla>* på min måde og ellers må du gerne vise, hvordan jeg skal vise det :-)