Matematik

Leibniz, x=f(y), y=f^-1(x)

11. december 2010 af pura (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg er i tvivl om, hvorfor det forholder sig således:

x = f(y), så er y=f^--1(x)

og:

dy/dx = 1/dx/dy

Er der nogen, der kan komme med en gennemgang eller eventuelt forklare hvorfor det forholder sig således?

På forhånd tak

Svar #1
11. december 2010 af pura (Slettet)

(Ved godt, at det er lørdag) men er der ingen kloge hoveder til stede?

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

At y = f^-1(x) , når x = f(y) er simpelthen definitionen på den omvendte funktion f^-1 .

Svar #3
11. december 2010 af pura (Slettet)

Hvis jeg siger, at x= e^y^2, hvad y så?

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

isoler y af x = e^{y^2}

y² = ln(x) ,

y = √(ln(x)) , ln(x) ≥ 0 .

Svar #5
11. december 2010 af pura (Slettet)

Ligger der ikke mere i det end at isolere?

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

Nej, derved finder man jo y udtrykt ved x, altså y som en funktion af x.

Svar #7
11. december 2010 af pura (Slettet)

Hvad hvis

dx/dy= 2y

Hvordan finder man dx/dy udtrykt ved x? Det var mere det, jeg var i tvivl om :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

Her har du en differentialligning, som man kan løse :

x = y² + k , hvoraf

y = √(x-k) , x≥0

Man kan finde dy/dx udtrykt ved x:

dy/dx = 1 / (dx/dy) = 1/(2y) = 1/( 2√(x-k) )

Svar #9
11. december 2010 af pura (Slettet)

hvordan kommer k ind i billedet?

Jeg får:

dx/dy, dy/dx = 1/dx/dy = 1/2y = 1/2*sqrt(x)

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

k er integrationskonstanten i den differentialligning, du startede med. Du gav ingen oplysninger til at fastsætte den.

Svar #11
11. december 2010 af pura (Slettet)

Hmm, min lærer (forlæser) tilføjede intet k. Er det bare en "glemme-fejl" som han har lavet eller er det med vilje?

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

#11

Det kan jeg da ikke sige. Måske du er startet med x = y² ?

Svar #13
11. december 2010 af pura (Slettet)

Ja, my bad, sorry:

x = y^2 <=>y = sqrt (x)

Hvad med:

dx/dy=cos(y)

hvor x = sin(y)

Svar #14
11. december 2010 af pura (Slettet)

hvor x er defineret i ]-phi/2,phi/2[

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

#13

Så er

y = sin^-1(x) ,

dx/dy = cos(y),

dy/dx = 1 / (dx/dy) = 1/cos(y) = 1 / √(1 - sin(y)²) = 1 / √(1 - x²) , |x| < 1

Svar #16
11. december 2010 af pura (Slettet)

er cos(y)=sqrt(1-sin(y)^2)?

Brugbart svar (0)

Svar #17
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

#16

Ja, det burde da være velkendt fra Pythagoras

cos(y)² + sin(y)² = 1

Svar #18
11. december 2010 af pura (Slettet)

Hvorfor er sin(y)^2 = x^2?

Brugbart svar (0)

Svar #19
11. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

#18

Fordi sin(y) = x , se dit eget #13.

Svar #20
11. december 2010 af pura (Slettet)

Mange tak

Skriv et svar til: Leibniz, x=f(y), y=f^-1(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.