Fysik
Schrödinger-ligning i positionsrepræsentation
Hej, jeg sidder og bakser med tilstandsvektoren repræsenteret i positionsrepræsentationen, men jeg har lidt svært ved at forstå noget af tankegangen bag det. Jeg skriver om en partikel der bevæger sig langs en ret linje:
Da man har et kontinuert spektrum af egen-værdier for partiklen er tilstandsvektoren nu en funktion af egenværdierne således at:
ψ(x) repræsenterer tilstanden i positionen x.
Den skal opfylde ligningen:
X ψ(x0) = x0 ψ(x0), hvor X er positionsoperatoren og x0 en vilkårlig egenværdi. Men så begynder de at snakke om diracs delta-funktion, som jo er uendelig stor i et punkt og nul over resten, og her har jeg lidt svært ved at følge med. Hvorfor skal x0 være uendelig stor i et punkt? Er det fordi at ovenstående egenværdi-ligningen skal gælde for alle x-værdier således at:
x * ψ(x) = x0 * ψ(x)
Og dermed er x nødt til at have en veldefineret værdi kun i x0. Og i så fald, hvorfor skal den være uendelig stor. Jeg er godt klar over, at det er her stringente matematikere ryster på hovedet af fysikere, men er det fordi at integralet over delta-funktionen skal være lig 1 og integralet er forbundet med det indre produkt, når vi er i et square-integrabelt rum eller hvordan er det helt præcist?
En masse spørgsmål, som jeg håber nogen kan skrive nogle afklarende, pædagogiske svar til.
- Og mange tak for at I har været så hjælpsomme herinde under mit skriveforløb - især dig Peter : )
Svar #1
12. december 2010 af peter lind
Du har fanget det rigtige. For at funktionen skal være kvadratisk integrabel og give 1 er det ikke nok at den er uendelig. Den skal være større end uendelig, hvorfor matematiker ryster på hoved af den. Integralet af en funktion, der er forskellig fra 0 i et enkelt punkt og uendelig i dette punkt vil være 0., så delta funktionen burde ikke kunne eksistere. Man regner nu med den som en grænseværd og det fungerer.
Svar #2
12. december 2010 af aaaa202 (Slettet)
Okay, men kan du ikke forklare i korte træk meget pædagogisk, hvorfor man har brug for delta-funktionen. Det kan godt være mine ligninger er rigtige, men jeg er ikke sikker på jeg forstår hvorfor. Min lærer siger noget med, at deltafunktionen repræsenterer en uendeligt sammenklemt bølge for en egentilstand, men egentilstanden er da ikke en bølgefunktion. Jeg har ikke rigtig beskæftiget mig med bølgepakker, så det er måske derfor jeg har lidt svært ved at forstå problemet.
Alternativt, kunne jeg måske bare snige mig udenom forståelsen ved at definere den mere abstrakt ved at enhver egentilstand skal være orthonormale baser, og derfor er enhver egen-tilstand nødt til at være orthonormal i forhold til den næste, men jeg ville nu virkelig gerne forstå det mere grundlæggende.
Svar #3
12. december 2010 af aaaa202 (Slettet)
Det er nok egentlig fordi, jeg begynder at associere tidsfaktoren med en partikel på en linje. Skal det bare forstås således, at alle mulige positioner, dvs. alle mulige x, er mulige egenværdier for tilstandsvektoren, og derfor er man nødt til at definere alle andre egenværdier 0, når man har en bestemt position x0, således at man ikke får forskellige resultater hver gang?
Svar #4
13. december 2010 af peter lind
Man bruger den simpelthen fordi det er praktisk.
En egentilstand er en tilstand, der kan beskrives ved en bølgefunktion. Eksempel. En elektron i en brintatom i den nederste energiniveau er i en egentilstand for energioperatoren.
Skriv et svar til: Schrödinger-ligning i positionsrepræsentation
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.