Egentilstand for hamilton-operatoren

 Hej, jeg sidder og arbejder med egen-tilstande for hamilton-operatoren, og jeg vil gerne vise at en egen-tilstand for hamilton-operatoren også er en egen-tilstand for bølgefunktionen i positionsrepræsentationen. Så jeg siger:
HΨ(x,t) = H <xlA(t)>, hvor lA(t)> er den generelle tilstandsvektor. 
Er det så legitimt at skrive:
H <xlA(t)> = <xlHlA(t)> = <xlElA(t)> = E<xlA(t)> = EΨ(x,t)
Jeg er ikke sikker på, at første skridt er lovligt, da H er en operator. Kan nogen sige om det er korrekt, og hvilke principper der ligger bag det. Jeg er altid lidt forvirret, når jeg arbejder med operatorer. Det kan osgå være, at det skal forstås ud fra at H er hermitesk, men jeg ved ikke helt hvordan dette skal være.