Matematik
Bevis for (df/dx)(x0)
Jeg har følgende spørgsmål:
(1) Explain what it means that the function f is differentiable at the point x0 ∈ I and that f has the differential quotient
df/dx(x0) at x0
hvor f: I --> R
Jeg har følgende fremgangsmåde:
(1) Jeg tegner en (konkav) graf i et almindeligt x,y-koordinatsystem, med punkterne Q og P, som er punkterne hvor en sekant skærer grafen med koordinaterne
P = (x0,f(x0)) og Q = (x0+h,f(x0+h))
Jeg laver herefter Newton-kvotienten. Dvs. stigningstallet m kan skrives som: m= (f(a+h)-f(a))/h
Og så vil jeg sige, at når h --> 0, så går m mod f'(a) = df/dx(x0)
Er det rigtigt formuleret? Er der evt. andre metoder til at påvise (1)?
Svar #1
15. januar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Det er korrekt, at man danner differenskvotienten (eller "Newton-kvotienten") m. Man undersøger så, om m har en grænseværdi for h → 0, og hvis det er tilfældet, siger vi, at f(x) er differentiabel i a, og grænseværdien kaldes differentialkvotienten for f i punktet a, der betegnes f'(a) .
Svar #3
15. januar 2011 af pura (Slettet)
Dvs. f'(a) = df/dx(x0)
Næste spørgsmål lyder:
(2) Prove that if the functions f and g are differentiable at x0 then the function fg is also differentiable at x0 and
(d(fg)/dx)(x0) = (df/dx)(x0)g(x0) + f(x0)(dg/dx)(x0)
Jeg er i tvivl her. Jeg ved ihvertfald at grænsen for et produkt er produktet af grænserne. Jeg tror, at det er den, jeg skal bruge her. Jeg ved bare ikke hvordan :S. Kan I give mig et hint?
Svar #4
15. januar 2011 af pura (Slettet)
Men, det er mere som om, at jeg skal bruge produktreglen for differentiation?
Svar #5
15. januar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#3
Du blander a og x0 sammen. Beslut dig til, om du bruger a+h eller x0+h.
Du skal vise produktreglen for differentiation. Ved beviset for at produktet fg er differentiabelt, skal man benytte, at f og g er differentiable. Man danner så differenskvotienten for fg:
((fg)(x+h) - (fg)(x)) / h = (f(x+h)·g(x+h) - f(x)·g(x)) / h
og skal vise, at den har en grænseværdi for h gående mod 0.
Svar #6
15. januar 2011 af pura (Slettet)
Ja, det bemærkede jeg lige, det med a og x0 my bad :/. Dvs. at jeg igen skal lave newtonkvotienten, som du har gjort og gange ud gøre ved, så jeg får det på formen (skrevet simpelt): f' * g + f * g' ?
Skriv et svar til: Bevis for (df/dx)(x0)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.