differentialligning

Hvis det er tilladt brug et CAS værktøj til det.

Anden mulighed: Gæt en løsning af samme form som højre side altså en lineær funktion ax+b. Sæt det ind i ligningen, til bestemmelse af a og b. Find derefter den fuldstændige løsning til differentialligningen y'+y = 0. Summen af de 2 løsninger er den fuldstændige løsning.

3. mulighed

Differentialligningen y'(x)+a(x)*y =b(x) har løsningen y = e^-A(x)∫e^A(x)b(x)dx, hvor A(x) er en stamfunktion til a(x)

Parallel til #1, bare hvor a(x) allerede er valgt som en konstant, som den er i din ligning.

Din ligning kan vist siges at være af typen:

y' + ay = h(x)  , a = 1   og h(x) = 20x + 3

Den har så den fuldstændige løsning:

y = e^-ax · ∫ h(x) · e^ax dx

er det panzerformlen?

hvorfor skal man "gætte" på en løsning det lyder jo total umulig..

skal man ikke bruge stamfunktionen til a(x) ? 20x ?

#4 . det er en mulig måde at løse ligningen på. Der står altså ikke bare gætte. Der står gætte på en funktion af samme form som højre side altså hvis det er en lineær funktion gætter man på en lineær funktion. Hvis det er en trigonometrisk funktion gætte man på en trigonometrisk funktion. Det er altså noget der gøres systematisk.

#5 Du skal bruge stamfunktionen til a(x) men a(x) = 1 ikke 20x+3. 

kan man ikke bruge panzer formlen?

#7

Jo, det kan man udmærket.

y=e^-A(x) * integralet af b(x)*e^A(x)dx +c*e^-A(x)

hvad er a(x) og b(x)

nogen?

a(x) = 1

b(x) = 20x+3

okay må jeg spørge hvordan du ved det?

og hvis a(x) =1 hvad er A(x) så? 0?

hjælp:)

#12. Han ved det ud fra den formel, han selv gav:

Citat fra #3:

"3. mulighed

Differentialligningen y'(x)+a(x)*y =b(x) har løsningen y = e^-A(x)∫e^A(x)b(x)dx, hvor A(x) er en stamfunktion til a(x)"

Sammenlignes dennes første ligning med din differentialligning:

y'+y=20x+3

ses, at første led ( y' ) stemmer overens. Dernæst ses, at, hvor formlen siger a(x)*y, siger din bare y - altså må a(x) være 1. Til sidst ses, at du på højresiden har 20x+3, og formlen har b(x). Da din venstreside er en funktion af x, kan denne kaldes b(x).

#13: Idet a(x)=1 er A(x) = x.

synes det er lidt mærkeligt at formlen for den totale løsning ikke står i min bog, er der andre måder at løse den på? måske mere simple?:)

Tvivler på, der er simplere måder, hvis det skal gøres i hånden. Formlen (fra #2) står i min bog fra A-niveau på STX.

Morsby det har du ret i, har også lige fundet den, mange tak for hjælpen alle:)

Hvis man differentierer differentialligningen et par gange, får man

y''' + y'' = 0 , dvs

ln(y'') = -∫ dx = -x +k'

y'' = k·e^-x  , og dermed

y' = -k·e^-x + c , og endelig

y = k·e^-x + c·x + q ,

hvor k, c og q er konstanter. Da der skal gælde

y' + y = 20x + 3 , har vi

c + cx + q = 20x + 3, hvoraf c = 20 og c+q = 3, eller q = -17 .

Endelig skal der gælde y(1) = 4, så

k·e-1 + 20 -17 = 4, eller k = e . Heraf fås den færdige løsning

y = e·e^-x + 20x -17

lol jeg får det til

y=e^-1 * (20x+3)^2 / 40 * e^-1

integralet af 20x+3 = (20x+3)^2/40 right?