bestem areal

Løs ligningen f(x) til at finde grænserne for integralet.

f(x) = 0 ⇒ x(x² -4) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = -2 ∨ x = 2

Det samlede areal af punktmængden er derfor

A = _-2∫⁰ f(x) + ₀∫² (-f(x)) dx = 2·₀∫² (4x -x³) dx = 2·[2x² - (1/4)x⁴]²₀ = 2·(2·2² - 2⁴/4) = 2·(8 -4) = 8

Funktionen f er symmetrisk m.h.t.  ( 0 , 0 )   Dvs.   f(-x)  =    - f(x).

Du kan nøjes med at integrere over intervallet [ 0 ; 2 ] og gange med ( - 2 ) til sidst. 

Løs ligningen f(x) = 0. Det giver grænserne for integralet. Arealet er så ∫|f(x)|dx

Er der ikke yderligere oplysning som kan afgøre hvilken punktmængde, der er tale om kvadrant eller lignende?

tusind tak begge to.

# 1

Eftersom det positive areal i 2. kvadrant har samme størrelse som det negative areal i 4. kvadrant, må det samlede areal "under grafen" vel være = 0 to the best of my knowledge -

# 0       " afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde, der har et areal "

Der står ikke i opgaven, i hvilken eller hvilke kvadranter arealet skal findes.

Et areal er aldrig negativ. Du forveksler det du får ud af det ved at integrere med arealet.

# 7

- Vil du formulere din sidste sætning på en anden måde - ? ;-)

Hvis der i opgaven kun var blevet spurgt, hvad det bestemte integral i intervallet [ - 2 ; 2 ] var,

ville resultatet være 0.

# 9

Og det er netop, hvad der gør. "Grafen afgrænser sammen med x-aksen en punktmængde -" og det gør den fra -2 til 2.

# 7

"Et areal kan aldrig være negativt"

Det viser sig, at

- alle mine matematikbøger fra gymnasiet og DTU

- Graph-programmet

- Geogebra-programmet

- samt mine lommeregnere (bl.a. Voyage 700)

alle er enige om, at arealet i 3. kvadrant er negativt og at det samlede areal i opgaven = 0.

Hvordan kan det gå til - ?

Jeg kan kun holde fast i  # 6  og  # 9.

Hermed bevis for mine påstande - værsågod, # 7 ("et areal kan ikke være begativt")

http://demonstrations.wolfram.com/FundamentalTheoremOfCalculus/

;-)

Arealet af en punktmængde er aldrig negativt. Det er kun, hvis f(x) ≥ 0, at integralet _a∫^b f(x) dx kan fortolkes direkte som arealet under grafen for funktionen.

Hvis f(x) ≥ 0 opsummerer man de infinitesimale rektangelarealer f(x)·dx for at finde det samlede areal under grafen. Hvis f(x) < 0 , opsummerer man de infinitesimale rektangelarealer -f(x)·dx for at finde det samlede areal under grafen.