x^3-5x^2+3x+6=0 (hjææælp??)

Produktet af rødderne skal være -6, så man forsøger først at gætte på en rod ud fra faktorerne i 6 . Prøv med 1, 2, 3 . Kan man gætte en rod, får man derved faktoriseret polynomiet i faktorer, der har lavere grad end det oprindelige polynomium.

 Forstår ikke helt? Jeg skal undersøge om der kan være 2 løsninger?

Nej, gæt en rod r og divider så polynomiet (x-r) op i det oprindelige polynomium. Derved fås et 2.-gradspolynomium, hvis rødder kan bestemmes ved den sædvanlige metode for 2.-gradsligninger.

Polynomiet kan faktoriseres (x -r₁)(x -r₂)(x -r₃) . ganger man ud, ser man at produktet -r₁·r₂·r₃ er lig med konstantleddet i polynomiet, i dette tilfælde 6. Skal man starte med at gætte en rod i polynomiet er det derfor værd at starte med faktorerne i konstantleddet, dvs x=±1, x=±2, eller x=±3 for at se, om en af disse skulle være en rod. Og det viser sig her at være tilfældet.

 men opgaven gik ud på at jeg skal undersøge om der er to løsninger. jeg skal aflevere på mandag, og har ingen anelse om hvordan man laver den.

#4

Så skal du så finde antallet af rødder i det resulterende 2.-gradspolynomium.

Du kan se, at x=2 er rod i polynomiet. Faktoriser det oprindelige polynomium i (x-2)·(x² +bx +c) og bestem antallet af rødder i 2.-gradspolynomiet.

 Jeg synes det er underligt, for vi har ikke fået noget at vide om det, men bare en opgave omkring det i vores aflevering. Ved ikke hvordan jeg skal gøre.

#6

Opgaven, som du formulerede den i #0, drejede sig blot om at løse en 3.-gradsligning. Senere har du så revideret opgaven til at du skal undersøge, om der er 2 løsninger. Det ville have været til stor hjælp, hvis du havde formuleret hele opgaven fra starten.

En anden fremgangsmåde er at lave monotoniundersøgelse for funktionen f(x). Man finder, at den har lokalt ekstremum i x=(1/3) og i x=3, og at f(x) er voksende i ]-∝, 1/3[ , aftagende i ]1/3 , 3[ og voksende i ]3 , ∝[ , og da f(1/3) > 0 og f(3) < 0 , og da f(x) → ∝ for x → ∝ , og f(x) → -∝ for x → -∝ , fremgår det, at der må være en rod i hvert af intervallerne ]-∝, 1/3[ ,  ]1/3 , 3[ og  ]3 , ∝[

Hvis du kun skal finde antal løsninger er der en anden mulighed. Sæt f(x) = x³-5x²+3x+6.  Find f'(x) og løs ligningen f'(x) = 0. Hvis der ikke er nogen løsninger er funktionen monoton og der kan kun være en løsning. Hvis der er løsninger skal du finde lokale maksima og minima. Lav derefter en graf for funktionen. Af grafen kan du se hvor mange gange den skærer x-aksen og dermed antal løsninger.