integralet af sin(x^2) ?

Du kan ikke finde en stamfunktion for sin(x^2).

Eller, det kan man faktisk godt, men så er der ikke længere tale om de "almindelige" analytiske funktioner, man kender fra gymnasiet, så du bliver vist nødt til at lave Riemann-approksimationer eller lignende (hvis du altså har grænser på, men blot var interesseret i hjælp til bestemmelse af en stamfunktion).

Til de interesserede kan det oplyses, at en potensrækkefremstilling for sin(x^2) er

sum{n=0,infty}[(-1)^n*x^(4n+2)/(2n+1)!] =

x^2 - (x^6)/3! + (x^10)/5! - (x^14)/7! + ...
+ (-1)^n*x^(4n+2)/(2n+1)! + ...

Skal man eksempelvis give give et numerisk overslag for integralet

1
int[sin(x^2)dx] (*)
0

kan dette gøres ved at medtage 'tilpas mange' af leddene i potensrækkefremstillingen ovenfor. Ikke overraskende opnås større præcision, jo flere led man medtager. I dette tilfælde (*) er der imidlertid ikke meget vundet ved at medtage mere end nogle få led, eftersom

{x^(4n+2)/(2n+1)!}

konvergerer meget hurtigt mod 0 (hurtigere end 1/n!) for n -> infty og x E [0;1]. De højere potensers bidrag er således negligeable, som det ganske tydeligt fremgår af

Numeriske overslag for (*)

n=0: 0.3333333333...
n=0,1: 0.3095238095...
n=0,1,2: 0.3102813853...
n=0,1,2,3: 0.3102681578...
n=0,1,2,3,4: 0.3102683017...
n=0,1,2,3,4,5: 0.3102683028...

- ved 6. overslag er fejlen mindre end 10^(-8), og det virker rimeligt at slutte iterationen på dette stadium.

//Singularity

S(sin(x^2)dx =

1/2*2^(1/2)*Pi^(1/2)*FresnelS(2^(1/2)/Pi^(1/2)*x) + k



Duffy

#3: Du er vældigt glad for Maple, kan jeg se :-)