Matematik
Bevis af differentialigningen: y'=a*y+b
Hej nogen som kan hjælpe med at forklare dette bevis step by step? altså hvad man gør helt præcis..
Dette er fra trips matematikbog 3 stykke 33.4
Funktionen f er en løsning til y'=a*y+b c ⇔
f'(x)=a*f(x)+b for alle x e R ⇔
(f(x)+b/a)'=a((f(x)+b/a) for alle x e R⇔
f(x)+ b/a er en løsning til y'=a*y
Der findes en konstant c så f(x) + b/a = c *e^a*x for alle x e R ⇔
Der findes en konstant c så f(x)=c*e^a*x - b/a for alle x e R
Hermed er sætningen bevist.
Nogen der gider forklare hvad man gør fra punkt til punkt? Mange tak
Svar #1
16. marts 2011 af Mamle (Slettet)
Det er en fejl i først linje: Funktionen f er en løsning til y'=a*y+b c ( c'et skal slettes)
Svar #3
16. marts 2011 af Spontaneous-123 (Slettet)
Den løses bare ved en generel separation af de variable.
Svar #4
16. marts 2011 af Mamle (Slettet)
Det forstår jeg ikke. Kan du hjælpe mig med en mere pædagoisk gennemgang af stykket sådan bid for bid?
Svar #5
16. marts 2011 af Mamle (Slettet)
Jeg skal vise at den fuldstændige løsning til y'=a*y+b er lig med f(x)=c*exp(a*x)-b/a
Svar #6
16. marts 2011 af Spontaneous-123 (Slettet)
Ja, det gøres ved separation af de variable, har du hørt om det?
Svar #7
16. marts 2011 af Mamle (Slettet)
Nej, i hvert fald ikke på den måde du formulerer det. Kan du forklare det step by step ud fra den beskrivelse jeg har givet i topppen? (det er egentlig beviset jeg skal bare forklare det bedre, og det kan jeg ikke finde ud af)
Svar #8
16. marts 2011 af Spontaneous-123 (Slettet)
Ja, det bevis du der fremlægger, beror på at vi kender løsningen til differentialligningen y'=ay, som er y=e^(ax)*c.
Ideen er at transformere den nye differentialligning y'=ay+b om til den gamle, som vi kender løsningen på.
Svar #9
16. marts 2011 af Mamle (Slettet)
hmm okay kan jeg godt se. Men kan de forskellige trin ikke forklares bedre?
Svar #10
16. marts 2011 af Spontaneous-123 (Slettet)
Først indser vi at:
y'=(y+b/a)'
Dernæst omskriver vi ay+b til:
ay+b=a(y+b/a)
Så bruger vi de nye udtryk:
(y+b/a)'=a(y+b/a)
og vi har altså en differentialigning af formen:
y' = a y
Løsningen bliver
y+b/a=e^(ax)*c
y=e^(ax)*c-b/a
Svar #12
16. marts 2011 af Spontaneous-123 (Slettet)
Så lidt, men læs op på separation af de variable, så kan du bevise løsningsformlen langt lettere.
Svar #13
09. juni 2011 af Jane001 (Slettet)
Hej, har samme problem som Malme
Hvordan indser vi at:
y'=(y+b/a)'
Skriv et svar til: Bevis af differentialigningen: y'=a*y+b
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.