Fysik
En bøje
Hej
Hvordan griber man denne opgave an:
[...] Nedenstående figur viser en cylindrisk bøje med diameteren 1,0 m og højden 0,75 m. Bøjen, der er massiv med konstant densitet, flyder i en væske med densiteten ρ [kg/L]. I det der ses bort fra alle andre kræfter end opdriften og tyngdekraften ønskes bestemt: opdriften (=tyngdekraften) på bøjen i hviletilstanden. Her anvendes archimedes lov for et legeme, der flyder i en væske [...]
På tegningen ses denne cylinder, hvor 0,2 m er over vandet og 0,55 m er under vandet.
Tak på forhånd.
Svar #1
04. april 2011 af peter lind
Opdrift er massen af den væske der fortrænges = massefylde af den væske der fortrænges * rumfang af den væske, der fortrænges. = massefylde af væske* rumfanget af den del af bøjen der er under væskeoverfladen
Svar #2
04. april 2011 af turk89 (Slettet)
#1
Fop = ρ (π · (0,5m)2 · 0,55m) · (9,82 m/s2) ≈ 4,242 · δ
Er vi enige om, at facit bliver i N (newton)?
Svar #4
04. april 2011 af turk89 (Slettet)
#3
Godt.
Hvad med når man skal bestemme den resulterende kraft på bøjen, når den presses y [m], dvs. y < 0,2 m ned, og derpå slippes således at den svinger?
Svar #5
04. april 2011 af peter lind
Du bruger samme formel som før til at finde opdriften Opdriften vil så være en funktion af x. Denne opdrift -tyngdekraften på bøjen fundet ovenfor er så den resulterende kraft på bøjen.
Svar #6
05. april 2011 af turk89 (Slettet)
#5
I opgaven står der, at der skal anvendes Newtons lov: "kraft er lig med masse gange acceleration".
Kan denne bruges?
Svar #8
05. april 2011 af turk89 (Slettet)
#7
Ja, kan godt se det nu, men du siger, at opdriften skal være en funktion af x. Jeg går ud fra, at x betegner højde? Hvordan får jeg det skrevet op?
Svar #9
05. april 2011 af peter lind
Jeg skulle have kaldt den y for at holde mig til betegnelserne. Presser du den y meter ned er cylinderbunden y+0,55 m under overfladen. I din formel i #2 skal du så blot erstatte de 0,55 m med 0,55m+y
Svar #10
05. april 2011 af turk89 (Slettet)
#9
Facit skal give 7,713 · ρ · y, og det vil det ikke gøre, hvis jeg gør som du siger.
Svar #12
05. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#11 (efter opfordring)
Lad cylinderen have radius r = 0,5m og højden H = 0,75m , og lad h = 0,55m være højden under vandet. Bøjen fortrænger da et volumen vand
Vvand = πr2·h
og opdriften på bøjen er netop lig i størrelse med tyngden af den fortrængte mængde vand:
Fop = Vvand·ρvand·g = πr2·h·ρvand·g ,
mens tyngden på bøjen er
Ft = πr2·H·ρ·g .
Da bøjen netop flyder, er Ft = Fop , så
H·ρ = h·ρvand .
Heraf fås så
ρ = ρvand·h/H = (0,55/0,75)·ρvand = 0,7333·ρvand
Presses cylinderen yderligere stykket y ned i vandet, virker der en ekstra opdrift svarende til tyngden af den ekstra fortrængte mængde vand, dvs
Fres = πr2·y·ρvand·g = 7,713m3s-2·ρvand·y = 7713Nm-1·y ,
hvor jeg har brugt ρvand = 1000kg/m3
Svar #13
05. april 2011 af peter lind
#12 Rent faktisk er der i opgaven kun angivet at det er en væske ikke at det er vand.
Svar #14
05. april 2011 af turk89 (Slettet)
#12
Tak. Facit kan man nøjes med at gange ind til sidst, da denne værdi er ukendt.
Svar #15
05. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#13
Ja, det er jo korrekt. I #12 skal ρvand så læses som ρ , og ρ skal læses som ρbøje .
Svar #16
05. april 2011 af turk89 (Slettet)
#15
Hvad er forskellen mellem lille h og stor H?
Rettelse til #14: **Densitet kan man nøjes med at gange ind til sidst som en variabel**
Svar #19
05. april 2011 af turk89 (Slettet)
#12
Hvorfor er det interessant at isolere densiteten for bøjen i 5. sidste linie? Bruger vi den til noget?
Svar #20
05. april 2011 af turk89 (Slettet)
Sidste spørgsmål for i dag.
Ligningen for svingningen skal nu findes. Til opstillingen af ligningen for svingningen skal anvendes, at y betegner svingningens form (y er stedet til det betragtede tidspunkt), y' betegner hastigheden (ændring i sted) og endelig y'' betegner accelerationen (ændring i hastighed).
Mit bud:
m · y'' = -k · y (ligevægt)
m · y'' + k · y = 0 (denne har formen a · d2y/dx2 + b· y = 0)
Her gættes løsningen y = ePx, y' = P · PePx og y'' = P2 · ePx. Hvis dette er tilfældet, skal det passe ind i ligningen foroven, dvs.:
m · P2 · ePx + k · ePx = 0 <--> ePx (m · P2 + k) = 0
Her kan ePx aldrig give nul, hvorfor andengradspolynomiet undersøges, som vist:
P = (- b ± √(b2 - 4 · a · c))/(2 · a) = (± √(4 · m · k) · √(-1))/(2 · m) = ± 1/(2 · m) · √(4 · m · k) · i.
Da der er tale om komplekse rødder, kan vi bestemme den fuldstændige løsning ved:
y = eαx (A · cos(β · t) + B · sin(β · t)).
Vores rødder gav da: 0 ± 1/(2 · m) · √(4 ·m ·k), hvor α = 0 og β = 1/(2 · m) · √(4 ·m · k).
Jeg vil mene, at "fjederkonstanten", k, i vores tilfælde er, den værdi som blev fundet i #12, dvs. 7,713 kN. Hvis massen, m, er π · (0,5m)2 · 0,55m = 0,432m3 (ved ikke hvordan jeg får masse, når jeg ikke kender densitet), bliver de komplekse rødder hhv. ± 0,04225.
Løsningen bliver da: y = e0 (A · cos(0,042 · t) + B · sin(0,042 · t)).
Problemet er så, at β SKAL give 4,23 i følge facitlisten. Nogen, der kan se en fejl?
Tak på forhånd!