Matematik

differentialligninger

28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

hej er en opgave som jeg ikke kan finde ud af. håber i vil hjælpe.

En funktion f(x) er løsning til differentialligningen

dy/dx=-2x*y

og grafen for f(x) går gennem punkterne (1,e)(-1,e)

a) bestem et gradtal for den spidse vinkel mellem tangenterne til grafen i de to punkter.

Mit bud er at finde tangenternes hældning
h1=3e
h2=-3e

men nu kan jeg ikke rigtig komme videre for har fået at vide man skal bruge vektorregning.

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Hvis du har lært vektorregning, kan du bruge dette, men det er ikke nødvendigt.

Er differentialligningen dy/dx = -2x*y? Så er hældningerne ikke 3e og -3e. Ved at indsætte (1,e), fås dy/dx = -2*1*e = -2e, og ved at indsætte (-1,e), fås dy/dx = -2*(-1)*e = 2e.

Kender du til vektorregning, så kan du finde vinkelen mellem vektoren (1,2e) og vektoren (1,-3e). Du kan også anvende, at tan(v)=a, hvor a er linjens hældning og v er den spidse vinkel mellem linjen og x-aksen. Tegn en skitse, hvilket gør det lettere at finde den rigtige vinkel!

Svar #2
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

nu har jeg prøvet at bruge vektorregning, men lommeregneren siger error når jeg prøver at regne det ud
.

Har fundet længderne på vektorende a=(1,2e),b=(1,-2e)
og får det til a=kvadratrod(1+e^2) og b=kvadratrod(1+e^2)

Så har jeg brugt formlen
cos v=(vektor a * vektor b)/(længde a * længde b)
cos v=((1,2e)*(1,-2e))/(kvadrotrod(1+e^2)*kvadrarod(1+e^2))

får :
V=cos^-1((1-4e^2)/(2e^2+1))

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Det er klart, at lommeregneren giver 'error', fordi (1-4e^2)/(2e^2+1) er tal mindre end -1, og der er invers cosinus ikke defineret. Fejlen ligger i længden af dine vektorer. De er lige lange, men længden er kvadratrod(1+4e²), og ikke kvadratrod(1+e²), som du skriver.

Svar #4
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

kan det passe, at vinklen bliver 159 grader

Brugbart svar (1)

Svar #5
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Ja, 159 grader it is! Har du tegnet en skitse?

Svar #6
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

jep... har lavet den færdig...

Tusind tak for hjælpen:)

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. februar 2011 af bipthug (Slettet)

hvorfor er det kvadratrod (1+4e²), og ikke (1+e²)?

Brugbart svar (1)

Svar #8
02. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)

Du spørger til en 2 år gammel opgave, og svaret i #4 er jo helt klart ikke gradtallet for den spidse vinkel mellem de to tangenter.

Benyt, at f'(x) er hældningskoefficienten for tangenten til grafen for funktionen f(x) i punktet (x , f(x)) , og at f'(x) også er tangens til den vinikel, som tangenten dannet med x-aksen.

I det første punkt (1;e) har tangenten derfor hældningen a₁ = f'(1) = dy/dx = -2xy = -2·1·e = -2e , og i det andet punkt (-1;e) har tangenten hældningen a₂ = f'(-1) = dy/dx = -2xy = -2·(-1)·e = 2e .

Den første tangent danner derfor vinklen α₁ = tan^-1(-2e) = -79,5775º med x-aksen , mens den anden tangent danner vinklen α₂ = tan^-1(2e) = 79,5775º med x-aksen. Vinklen mellem de to tangenter er derfor

α₂ - α₁ = 159,1551º , og den spidse vinkel mellem de to tangenter er så denne vinkels supplementvinkel, dvs
180º - (α₂ - α₁) = 20,8449º .

Brugbart svar (0)

Svar #9
04. oktober 2011 af guzbak

#8 , men det er da ikke vektorregning?

- - -

^{Angiv gerne om mit svar var brugbart, ved at trykke på "brugbart svar".}

^{// Guzbak}

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

Nej, ikke specielt.

Brugbart svar (0)

Svar #11
04. oktober 2011 af guzbak

men som der også står i spørgsmålet, er det nødvendigt at bruge vektorregning.

hvordan finder du så vinkelen mellem vektoren (1,2e) og vektoren (1,-3e) , vha vektorregning?

- - -

^{Angiv gerne om mit svar var brugbart, ved at trykke på "brugbart svar".}

^{// Guzbak}

Brugbart svar (0)

Svar #12
04. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

#11

Man benytter, at liniens hældningskoefficient a er lig med tangens til den vinkel, som linien danner med x-aksen.

Men man kunne da også finde vinklen mellem de to vektorer (1 , 2e) og (1 , -2e) .

Brugbart svar (0)

Svar #13
04. oktober 2011 af guzbak

Men hvordan :) ?

- - -

^{Angiv gerne om mit svar var brugbart, ved at trykke på "brugbart svar".}

^{// Guzbak}

Brugbart svar (1)

Svar #14
04. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

#13

Ved at benytte formlen for cosinus til vinklen v mellem to vektorer a og b :

cos(v) = (a • b) / (|a||b|)

Med a = (1 , 2e) og b = (1 , -2e) fås så

|a| = |b| = (1 +4e²)^1/2 , så

cos(v) = (1 - 4e²) / (1 + 4e²) ,

hvoraf v = 159,1551º

Brugbart svar (0)

Svar #15
04. oktober 2011 af guzbak

Nååår .. Vi har faktisk først lige arbejdet med den formel i dag :) Tak for det !

- - -

^{Angiv gerne om mit svar var brugbart, ved at trykke på "brugbart svar".}

^{// Guzbak}

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. januar 2012 af freaksom (Slettet)

Hej. Forstår ikke helt hvordan i finder vinklerne på vektorerne? :) 2e og -2e er hældningerne, så langt er jeg ... men resten? :)

Jeg mener, hvorfor hedder linjerne (1,2e) og (1,-2e)?

Brugbart svar (2)

Svar #17
10. januar 2012 af Andersen11 (Slettet)

#16

En ret linie, der har hældningskoefficient a , har retningsvektoren (1 ; a) . (Man går 1 hen, og a op) .

Brugbart svar (0)

Svar #18
10. januar 2012 af freaksom (Slettet)

Okay, mange tak :D og det er fordi at linjen er ret self.

kunne det også have været (2,2a)?

Brugbart svar (0)

Svar #19
10. januar 2012 af freaksom (Slettet)

Og længderne af a og b. hvordan kan det være det "kun" giver 1-4e^2? Det giver da den samme længde, både a og b? :)

Skriv et svar til: differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.