Linjeintegraler

Lav en parameterfremstilling for liniestykket fra (4,7) til (6,5) og en anden for liniestykket fra (6,5) til (1,1) .

Linieintegralet er så

L = _t1∫^t2 v(x(t),y(t)) · |dr/dt| dt

Nu har jeg prøvet at regne den ud. Det giver mening i mit hoved, men er det korrekt?

Jeg har at v_x=x*y² og v_y=x³

Jeg starter med at finde fra (1,1) til (6,5) og bruger _c ∫v(x,y)dx =_a ∫^b ∇(x(t),y(t)) * sqrt( (dx/dt)² * (dy/dt)² ) dt

= _a∫^b v_x(t) dx +_a ∫^b v_y(t) dy

Jeg vil altså omskrive v_x=x*y² og v_y=x³, således af de afhænger af en fælles parameter t. Jeg antager at linjen fra (1,1) til (6,5) er lineær. Hermed kan jeg sige at: x=t og y=a*y+b, hvor jeg finder a og b:

a = (y₂-y₁) / (x₂-x₁) = (5-1) / (6-1) = 4/5 og b = y₁-a*x₁=1-(4/5)*1 = 1/5

Dermed har jeg at: y = 4/5 *t + 1/5

Jeg erstatter x og y med t, dx, dy og dt og husker at grænserne for t bliver grænserne for x da t=x:

v_x = t * ((4/5)*t+(1/5))² (kommer fra at v_x=x*y²)  

v_y=x³=t³  

dx/dt=1 da x=t og dermed dx=dt

dy/dt=4/5 (kommer af 4/5 * t + 1/5 differentieret i forhold til t) og hermed fås at dy= 4/5 * dt

Hermed ender vi med:₁ ∫⁶ t * ((4/5)*t+(1/5))² dt + ₁ ∫⁶ t³ * 4/5 dt = 489,83

Da linjen nu skifter retning vil jeg så finde et nyt t fra (6,5) til (4,7). Jeg antager igen at den er lineær finder a og b:

a = (7-5)/(4-6) = -1 og b = 5 - -1*6 = 11

Hermed fås: y = -1*t + 11

v_x = t * (-1*t+11)²

v_y = t³

dx/dt=1 dvs dx=dt

dy/dt=-1 dvs. dy = -1*dt

Hermed fås:

₆ ∫⁴ t * (-1*t+11)² dt +₆ ∫⁴ ( - t³) dt = -95.33

Kan det passe at jeg får en negativ værdi her? Er det samlede linjeintegrale så 489,83 - 95,33 = 394,5?