Vektorfelter

Du angiver jo selv definitionen, Hvis du vil have en anden F = gradienten af en funktion

#1

Ja, definitionen er den i #0, men hvad hvis det ikke var en lukket kurve?

Det skal gælde for en vilkårlig lukket kurver. Der er uendelig mange lukkede kurver med mindre det hele er begræset til et punkt
 

#3

Man siger, at tyngdefeltet er konservativt. Kan du forklare mig, hvorfor?

Hvis du bruger min alternative funktion kan du se at tyngdekraften kan skrives som gradienten af en funktion. Funktionen står i din bog og formelsamling

#5

Jeg er ikke helt med på det. Vil du uddybe det?

F = grad( G*m*M/r)

#6

Definitionen for, at et vektorfelt er konservativt er netop Peter Linds alternative forklaring, at vektorfeltet er gradienten af et skalarfelt. En egenskab ved et konservativt vektorfelt er, at linieintegralet (eller kurveintgegralet) af feltet langs en kurve mellem to punkter er uafhængigt af den kurve, der forbinder de to punkter. Specielt er kurveintegralet langs en lukket kurve lig med 0 . Man kan omvendt vise, at hvis kurveintegralet mellem to vilkårlige punkter er uafhængigt af den valgte kurve, der forbinder de to punkter, er feltet konservativt.

#7 og #8

Ja, for at et vektorfelt er uafhængig af vejen, så skal der gælde:

F = ∇f

Men hvad giver ∇f = grad(G*m*M/r)?

Skal denne differentieres mht. x, y og z? Det må være radius, der er en funktion af x, y og z. Er det korrekt?

grad(f) = (f'x, f'y, f'z) hvor f'x er den partielle afledede af f med hensyn til x. Med andre ord en differentiation af funktionen, hvor man kun anser x for variabel (y og z er konstanter) Tilsvarende for de andre afledede

#9

Radius er jo afstanden fra feltets centrum, der naturligt benyttes som koordinatsystemets begyndesespunkt, så

      r = √(x² + y² + z²) .

Det skulle så være muligt at udregne ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z af funktionen (1/r) .

#11

Ja, det ville jeg også mene, men hvad mener du med 1/r?

#12

Potentialet er jo af formen k/r . For at finde kraften skal man så beregne gradienten af 1/r .

#13

Pas, det forstår jeg ikke.

#14

Det fremgår jo af #9, at

      F = ∇(G·m·M/r) = G·m·M·(∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z)(1/√(x²+y²+z²))

                              = G·m·M·(-x,-y,-z)/(x²+y²+z²)^3/2 = -G·m·M·r/r³

#15

Tak for det.

Kan du egentlig forklare, hvorfor arbejdet af konservative kræfter giver anledning til fald i potentiel energi? Er der et eksempel på det?

#16

Arbejdet, der udføres, er jo forskellen mellem potentialet i start- og slutpunktet.

#17

Jeg havde ellers troet, at arbejdet var defineret som ændring af kinetisk energi?

#18

Nej. Det af kraften udførte arbejde langs en vej s fra P₁ til P₂ er

      W = ∫_s F • dr = ∫_s ∂f/∂r • dr = f(P₂) - f(P₁)

Når den samlede mekaniske energi er konstant, vil en ændring i potentiel energi jo så resultere i en tilsvarende ændring i kinetisk energi.

#17

Hvis nu et objekt på 1 kg flyttes en afstand på 5 meter målt fra en startposition x0 = 0, så er:

ΔE_pot = mgΔs = -5 J. Er arbejdet her lig 5 J?

I noten står der, at det er tilfældet (ændring af potentiel energi) for konservative kræfter, men at arbejdet udført af den totale kraft er lig ændringen af den kinetiske energi. Det lyder lidt forvirrende synes jeg.