Ortogonale polynomier

Hvis f1 er orthognal med f2 skal de opfylde:

<f1(x), f2(x)> = 0

Så indsætter du bare f1 og f2 på p og q's pladser i det givne indre produkt.

Sådan at:

(1*(-1))*((a+x)*(-1)) + (1*(0))*((a+x)*(0)) + (1*(1))*((a+x)*1) = 0 ?

Eller er (-1), den værdi der skal indsættes istedet for x, så den første hedder:

(1*(a-1) + 0*(a) + 1*(a+1) = 0

a-1 + a+1 =0

2a= 0

a=0 ? 

Hvad er:

f1(-1) = ?,    f1(0) = ?,    f1(1) = ?

f2(-1) = ?,    f2(0) = ?,    f2(1) = ?

ja til det sidste :)

.bortset fra at f1(0) = 1

Ja, så den bliver 3a=0 i stedet :)

f1 er vel bare 1 hele vejen ? da der ikke er noget x? 

#6 lige præcis

Jeg får at a=0, b=2/3 og c=0 ? 

b = -2/3 får jeg, men ellers det samme

Man kan gå lidt mere systematisk til værks. Begge opgaver er specialtilfælde af et indre produkt, der for et fast h > 0 er defineret ved

        <p,q> = p(-h)q(-h) + p(0)q(0) + p(h)q(h)

Sætter vi generelt

        p(x) = p₂x² + p₁x + p₀   ,   og    q(x) = q₂x² + q₁x + q₀ ,

har vi

        <p,q> = 2p₂q₂·h⁴ + 2(p₂q₀ + p₁q₁ + p₀q₂)·h² + 3p₀q₀ .

I den første opgave er h = 1 , og de tre polynomier, der skal være parvis ortogonale, er

        f₁(x) = 1 , f₂(x) = a+x , og f₃(x) = b + cx + x² .

Betingelserne <f₁,f₂> = 0 , <f₁,f₃> = 0 , og <f₂,f₃> = 0 , fører derfor til betingelserne

        3·1·a = 0 ,      2·1·1 + 3·1·b = 0 ,     2·(1·c + a·1) + 3·a·b = 0 ,

dvs

        a = 0 , b = -2/3 , c = 0 .

I den anden opgave er h = 2, og ligningssystemet bliver da

        3·1·a = 0 ,      2·1·1·2² + 3·1·b = 0 ,     2·(1·c + a·1)·2² + 3·a·b = 0 ,

dvs.

        a = 0 , b = -8/3 , c = 0 .