Matematik

∫√(x^4+2x)dx

03. maj 2014 af Krabasken (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Er der mon nogen, der kan forklare, hvorfor

∫√(x⁴+2x)dx

ikke kan løses på et CAS-værktøj?

Og hvordan løses det så i hånden?

På forhånd tak! :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Her er, hvad Wolfram foreslår

(Sqrt[x*(2 + x^3)]*(x^(3/2) + (2*ArcSinh[x^(3/2)/Sqrt[2]])/Sqrt[2 + x^3]))/(3*Sqrt[x])

Jeg har ikke kontrolleret resultatet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det så godt ud, da jeg pastede det ind, men derefter forsvandt det grafiske forlæg.

Linket er

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=sqrt%28x%5E4%2B2x%29&random=false

Integrate[Sqrt[x^4 + 2*x], x] ==
(Sqrt[x*(2 + x^3)]*(x^(3/2) + (2*ArcSinh[x^(3/2)/Sqrt[2]])/Sqrt[2 + x^3]))/ (3*Sqrt[x])

Svar #3
03. maj 2014 af Krabasken (Slettet)

Har du nogen mening om, hvorfor et CAS-værktøj ikke kan klare det?

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Næh, ikke udover, at et CAS-værktøj jo er bygget af mennesker, og ikke alle CAS-værktøjer kan det samme.

Svar #5
03. maj 2014 af Krabasken (Slettet)

Okay - TAK i hvert fald!

:-)

Brugbart svar (1)

Svar #6
03. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ved den manuelle integration har man brug for denne stamfunktion

$\int \sqrt{x^{2}+1}\, \textup{d}x=\frac{1}{2}\left ( x\sqrt{x^{2}+1} +\sinh^{-1}x\right )$

og man får, med substitutionen u = x^3/2 , du = (3/2)·x^1/2 dx

$\int \sqrt{x^{4}+2x}\, \textup{d}x=\int \sqrt{x}\sqrt{x^{3}+2}\, \textup{d}x\newline\newline =\frac{2}{3}\int \sqrt{u^{2}+2}\, \textup{d}u=\frac{2}{3 }\left ( \frac{1}{2}u\sqrt{u^{2}+2}+\sinh^{-1}\frac{u}{\sqrt{2}} \right )+k\newline\newline =\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\sqrt{x^{3}+2}+\frac{2}{3}\sinh^{-1}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2}}+k$

Svar #7
03. maj 2014 af Krabasken (Slettet)

Flot!

TAK igen . . .

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. maj 2014 af SuneChr

# 6
Fortjener en plads i integralsamlingen i
"Standard Mathematical Tables"
CRC Press Inc. Cleveland, Ohio

Indlægget, med kilde, kopieret og indsat i bogen.
Tusind tak.

Svar #9
03. maj 2014 af Krabasken (Slettet)

# 8

Enig!

Brugbart svar (1)

Svar #10
03. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

For lige at sætte det sidste manglende led i #6 ind, har man

$\int \sqrt{u^{2}+2}\, \textup{d}u=\sqrt{2}\cdot \int \sqrt{\frac{u^{2}}{2}+1}\, \textup{d}u=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\int \sqrt{\left ( \frac{u}{\sqrt{2}} \right )^{2}+1}\, \textup{d}(\frac{u}{\sqrt{2}})\newline\newline =2\cdot \frac{1}{2}\left ( \frac{u}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{u^{2}}{2}+1}+\sinh^{-1}\frac{u}{\sqrt{2}} \right )=\frac{1}{2}u\sqrt{u^{2}+1}+\sinh^{-1}\frac{u}{\sqrt{2}}$

og endelig skal det bemærkes, at

$\sinh^{-1}z=\ln \left ( z+\sqrt{z^{2}+1} \right )$

Skriv et svar til: ∫√(x^4+2x)dx

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.