Niveaukurve

Det er ikke en niveaukurve. Det er en cirkelskive

#1

Jeg skal have udregnet fladeintegralet: ∫_S∫(F•n)dA,

når overfladen (en cylinder) er givet ved: x² + y² ≤ a² og at |z| ≤ h.

Herudover er vektorfunktionen givet ved: F = (e^x,-ye^x,3z)

Jeg har delt fladen op i tre dele, hhv. i top, bund og den krumme overflade. Hvordan vil du løse integralet for den krumme overflade?

#2

På den kumme overflade er

        [x,y,z] = [ a·cos(θ) , a·sin(θ) , z ] , 0 ≤ θ ≤ 2π , -h ≤ z ≤ h ,

        n = [ cos(θ) , sin(θ) , 0] , dA = a dθ dz

n = (x,y, 0)/r  ganger du dette skalært med F forsvinder z, så integrationen langs z giver  blot cylinderlængden. For den resterende brug cylinderkoordinater til det

#3

Vil du gerne uddybe den sidste linje? Hvad laver du der?

#5

Der opstilles et udtryk for fladenormalen på den krumme overflade, samt et udtryk for fladeelementet dA .

#6

Ja, det kan jeg se, men hvad laver du matematisk for at beregne n?

#7

Normalvektoren i et punkt [x , y , z] på den krumme cylinderflade har z-komponent 0 , og den er jo parallel med en radius til punktet [x , y] = a·[cos(θ) , sin(θ)] .

#8

Nu kan jeg se det.

Hvad hvis det var en ellipse?

#9

Så så opgaven anderledes ud.

#10

Jeg tænkte på en ellipse med tværsnittet: x²/a² + y²/b² ≤ 1

Så ville man skrive [x,y,z] = [ a·cos(θ) , b·sin(θ) , z ], ikke? Hvad med n?

#11

Så er tangenten i en plan parallel med z = 0 jo [-a·sin(θ) , b·cos(θ) , 0] og normalen vil så være tværvektoren (i en plan betydning) til denne, dvs

         n = [ b·cos(θ) , a·sin(θ) , 0 ] / √(b²·cos²(θ) + a²·sin²(θ))

#12

Helt enig, tak.

Kan det passe, at integralet med udtrykkene fra #3 bliver:

I = _-h∫^h₀∫^2π (e^acos(θ),-asin(θ)e^acos(θ),0) • (cos(θ),sin(θ),0) · adθdz 

  = _-h∫^h₀∫^2π (ae^acos(θ)cos(θ) - a²sin²(θ)e^acos(θ)) · dθdz?

#13

Ja, det ser rigtigt ud.

#14

Super, og lige det sidste. Hvordan integrerer man: e^acos(θ) mht. θ i hånden?

Jeg har prøvet at substituere med t = acos(θ) og dermed dθ = dt/(- asin(θ))

Heraf:

I = _-h∫^h_a∫^a (te^t - a²sin²(θ)e^t) · dt/(- a sin(θ)) dz?

Jeg skal må en måde komme af med θ. Er det muligt?

#16

Det er sikkert nemmere at benytte divergensteoremet

        ∫∫_S F•n dS = ∫∫∫_V div F dV ,

idet det for F = (e^x , -ye^x , 3z) gælder, at div F = 3 , så man får

        ∫∫_S F•n dS = ∫∫∫_V div F dV = 3 · 2·π·a²·h = 6π·a²·h

#17

Ja, den har jeg også regnet ud, men som du også skriver, så skulle begge fremgangsmåder give det samme resultat. Jeg øver mig bare på at regne det ud på begge måder.

Jeg har regnet bidraget fra toppen og bunden og de giver tilsammen:

I_top+bund = ∫∫(e^x,-ye^x,3h)•(0,0,1)dA + ∫∫(e^x,-ye^x,-3h)•(0,0,-1)dA = 6π·a²·h

Det må så betyde, at integralet af den krumme del skal give nul, hvis resultatet skal passe.

Jeg begynder at tvivle på, om jeg blot skulle betragte den krumme flade med tværsnittet som:

x² + y² = a²

Det er vel ligegyldigt, om jeg får at vide, at det er en skive? Jeg ved dog, at det er en lukket flade.