Matematik

Differentialligning

12. maj 2014 af mulleJ1995 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Afsætningen y=A(x) af en bestemt vare forventes de første 100 dage efter introduktionen at opfylde følgende differentialligning

$\frac{dy}{dx}=-0,05y+10$

hvor x er antal dage efter introduktionen.

a) Bestem en forskrift for A, når det oplyses at A(0)=0

b) Bestem den forventede afsætning efter 30 dage

I opgave a har jeg bare integreret for at finde forskriften, men er ikke klar over hvad jeg skal gøre i opgave b når der er to variable?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man finder forskriften ved at løse differentialligningen og benytte oplysningen A(0) = 0 til at fastlægge integrationskonstanten.

I b) benytter man så den fundne løsning til at beregne A(30) .

Svar #2
12. maj 2014 af mulleJ1995 (Slettet)

Tror ikke helt jeg forstår det med at løse den, er den ikke løst ved at integrere når det bare er en type 1?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Jeg ved ikke, hvad du mener med at integrere. Hvorfor viser du ikke din fremgangsmåde her? Man kan jo også bare indsætte i den færdige løsningsformel.

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. maj 2014 af Amril (Slettet)

Du har en separabel differentialligning.

g(x) = y - 200

f(x) = -0.05

(bemærk at jeg har omskrevet højre side til -0.05*(y-200))

Du betragter nu $\frac{dy}{dx}$ om en brøk (lidt af en håndværkermetode, det her) og ganger igennem med dx samtidig med at du dividere med g(x), således at du kan integrere hver side af lighedstegnet og derefter isolere y for at finde løsningsfunktionen.

$\int \frac{1}{y-200} dy = \int -0.05dx$

ln|y-200| = -0.05x + C

$y - 200 = e^{-0.05x} * e^{C}$

Flyt da 200 over til højre, og skriv e^Csom en konstant K.

$y = e^{-0.05x} * K + 200$

Du har en betingelse, nemlig at når x = 0, da y = f(x) = 0. Da :

$0 = e^{-0.05*0} * K + 200$

0 = K + 200

K = -200

Så A(X) = $y = -200 \cdot e^{-0.05x} + 200$

Indsæt 30 i stedet for x, og du får svaret på opgave B.

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. maj 2014 af Amril (Slettet)

Bemærk i øvrigt, at en ligning af formen

y ' = ay + b

har løsningen

$y = -\frac{b}{a} + Ce^{ax}$

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.