Komplekse tal

  (x + iy) · (x - iy) - (x + iy) + (x - iy) = 0

  x² + y² - x - iy + x - iy = 0

  x² + y² - 2iy = 0  ⇔  x =0 ∧ y = 0

Da x og y er reelle, får man så de to ligninger

        x² + y² = 0    og      2iy = 0 ,

der jo kun har den trivielle løsning     x = 0 , y = 0 .

#2

Kan du komme med et eksempel, hvor der ikke står nul på højresiden?

Jeg vil nemlig gerne se, hvordan man løser sådan et problem.

#3

Hvis det i stedet er ligningen

        z·z' - z + z' = w = a + ib    (a,b reelle) ,

får man så ligningerne

        x² + y² = a     og     -2y = b   ,

der skal løses inden for de reelle tals legeme.

Bemærk, at for ethvert komplekst tal z er z·z' reelt og ikke-negativt, mens -z + z' er rent imaginært. Der er derfor ingen løsning, hvis a = Re(w) < 0 .

#4

Så hvis w = 3 + 2i, får vi:

x² + y² = a = 3       (I)

-2y = b = 2            (II)

Vi kan ud fra ligning (II) finde ud af, at:

y = (-2/2) = -1

og man kan altså ud fra ligning (I) bestemme x til:

x = ±√(3 - (-1)²)

Er det rigtigt?

#5

Ja, altså     z = ±√2 -i .

#6

Men hvis nu w = -1 + 2i, så får vi:

x² + y² = a = -1

-2y = b = 2

hvor y = -1, og a kan så bestemmes til:

x = ±√(-1 - (-1)²) = ±√(-2)

Så siger du, at der ikke er nogen løsning, fordi vi leder efter en løsning, der er reel. Er det korrekt?

#7

Ja, det er korrekt. x + iy er jo den rektangulære repræsentation for det komplekse tal z, så x og y skal være reelle.

#8

Super, tak.