Matematik

Fourierrække

28. maj 2014 af hejsa128 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Er der nogen, der kan hjælpe med spørgsmål (a) og (b) i den vedhæftede opgave? På forhånd tak! :)

Vedhæftet fil: opgave 2.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
28. maj 2014 af peter lind

udregn c_n = ∫_-π^πf(x)*e^i*n*xdx/(2π)

I dette tilfælde reduceres beregningen af integralet til at beregne ∫_π/2^πe^i*n*xdx

Svar #2
28. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Skal der stå: c_n = ∫_-π^πf(x)*e^-^i*n*xdx/(2π) ? Har tilføjet et minus i potensen. Og hvordan reduceres dette til ovenstående?

Svar #3
28. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Nu forstår jeg hvordan du reducerer, men skal der stadig ikke være et minus i potensen? :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. maj 2014 af peter lind

Du har ret i det med fortegnet

Svar #5
28. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Okay :)

Jeg har løst integralet, men jeg får ikke det c_k,som opgaven siger man skal. Er f p-periodisk og stykvis kontinuert? - I så fald defineres Fourierrækken anderledes.

Brugbart svar (3)

Svar #6
28. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man har så

$c_{k}=\frac{1}{2\pi }\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }e^{-ikx}\, \textup{d}x=\left [ \frac{-1}{2\pi ik}e^{-ikx} \right ]_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\newline\newline =\frac{i}{2\pi k}\left ( e^{-ik\pi }-e^{-ik\frac{\pi }{2}} \right )=\frac{i}{2\pi k}\left ( (-1)^{k}-(-i)^{k} \right )=\frac{(-1)^{k}i}{2\pi k}\left ( 1-i^{k} \right )$

for k ≠ 0 .

Svar #7
28. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Mange tak :) Hvordan finder man c₀, når k ikke må være lig 0?

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. maj 2014 af thomas69 (Slettet)

Punktvis konvergens af en fourierrække mod en funktion f i et punkt x betyder at der at fourierrækkens afsnit skal evalueres i x sn(f(x)) gar mod f(x) for n ? 8. Denne konvergens bestemmes via den givne norm i det metriske rum for funktionsværdierne. Dvs at fourierrække punktvis konvergent hvis sn(f(x)) ? f(x) for n ? 8 for alle x ? [-p,p]. Men hvordan skal man vise det?

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. maj 2014 af thomas69 (Slettet)

Brugbart svar (1)

Svar #10
28. maj 2014 af peter lind

med k=0 bliver formlen i #2

c₀ = ∫_π/2^πe^-i*0*xdx/(2π) = ∫_π/2^πdx/(2π)

Svar #11
28. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Får I også c₀ = 1/4?

Brugbart svar (1)

Svar #12
28. maj 2014 af thomas69 (Slettet)

Det gør jeg også;)

Brugbart svar (1)

Svar #13
29. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Ja, netop.

Svar #14
29. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Jeg kunne ligesom #8 godt tænke mig hjælp til spørgsmål (b). Er der nogen, der kan hjælpe? :)

Brugbart svar (2)

Svar #15
29. maj 2014 af R3p1ican7 (Slettet)

#14

Jeg tror man skal bruge sætning 3.5 i bogen (s. 20 i JPS). Argumenter for at funktionen er 2π periodisk og stykvis differentiabel. Hvis du kan argumentere for det, er sumfunktionen givet ved at du normaliserer f.

Det ses da også let at den ikke er uniformt konvergent, da funktionen er diskontinuert. Her kan man også kigge på sætning 4.3 (s. 24 i JPS), hvor et af kravene for uniform konvergens af en fourierrække er at den er kontinuert.

Det er mit bud ihvertfald. :)

Svar #16
29. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Tak :-) Indgår det ikke af definitionen af en Fourierrække, at den er stykvis kontinuert og 2π-periodisk?

Brugbart svar (0)

Svar #17
29. maj 2014 af peter lind

#16 Nej det indgår ikke i definitionen; men det kan vises at det gælder

Svar #18
29. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Jeg ved at en funktion er periodisk med perioden p>0 hvis f(x+p) = f(x) for alle x∈R.

Ligeledes har jeg definitionen på en stykvis differentiabel funktion, denne er vedhæftet.

Men jeg kan slet ikke se, hvordan disse kan vises for den pågældende funktion.

Vedhæftet fil:Udklip.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #19
29. maj 2014 af peter lind

Funktionen er reelt kun defineret i intervallet [-π, π]. Du kan udvide definitionen til at være periodisk med perioden 2π. Det ændrer ikke på funktionen i det interval hvor den er defineret. Nu kan du så bruge reglerne for Fourier rækker

Svar #20
29. maj 2014 af hejsa128 (Slettet)

Mange tak, det hjalp :-)

Forrige 1 2 Næste

Der er 30 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.

Matematik

Fourierrække

Fourierrække