Matematik

Polynomier og integralregning

07. juni 2014 af heeeeejjjj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har en opgave, der lyder således:

Forklaring på hvorledes integralregning kan anvendes til bestemmelse af arealer af områder, der begrænses af grafer for polynomiet

Jeg går ud fra, at man ved hjælp af øvre og nedre grænser, vil kunne indsætte dem i en formel for bestemt integral og derved udregne A(x), der netop vil være lig arealet af den punktmængde, som begrænses af grafen for polynomiet og fx x-aksen i det bestemte interval. men hvordan er polynomiet forskellig fra en hver anden funktion?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. juni 2014 af PeterPølleHatHarEnFedKasket (Slettet)

Polynomier er forskellig fra eks. den naturlige eksponentialfunktion, idet den ikke er sin egen afledede. Min pointe er at polynomier er forskellige fra funktioner der ikke er polynomier, ved et utal af forskellige egenskaber der er afhængig af hvilken funktion der sammenligenes med.

Polynomier har har den fantatiske egenskab, at et polynomie af grad N∈{1,2,3,...}, ved at den kan skrives som en linear kombination af potensfunktioner, dvs af funktioner på formen x^{n} hvor 0 ≤ n ≤ N.

$\text{hvorfor : }p_{N}(x) = \sum_{n=0}^{N}a_{n}x^{n}$

Antager p_N(x) nu postive værider i intervallet [b,c], hvor b<c. Har du at arealet mellem polynomiet af grad N og x-aksen er givet ved :

$A = \int_{b}^{c}p_{N}(x)\mathrm{d}x = \int_{b}^{c}\sum_{n=0}^{N}a_{n}x^{n}\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{N}a_{n}\int_{b}^{c}x^{n}\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{N}\frac{a_{n}}{n+1}\Big(c^{n+1}-b^{n+1}\Big)$

Hvor vi efter tredje lighedstegn, er nød til at kræve N<∞. At vise at det også går godt for N→∞, er formegentligt lidt udover a-niveau'et.

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. juni 2014 af mathon

$p(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+..........+c_2x^2+c_1x+c_o$

I intervaller [a;b] hvor p(x) ≥ 0
kan arealet af området begrænset af
grafen for p(x), x-aksen og linjerne x= a og x = b a < b
beregnes af
$A=\int_{a}^{b}p(x)\, dx$

Skriv et svar til: Polynomier og integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.