Bevis af trekant

Du må mene, at T₂+T₃ = T₁ . Foldningerne er lavet omkring vinkelhalveringslinier. Folder du for eksempel trekant 3 ned over trekant 1, ser man, at trekant 3 er retvinklet, og den korte side vil derfor falde sammen med højden i trekant 1, idet trekant 1 er ligebenet på grund af symmetriegenskaberne. TIlsvarende vil trekant 2 dække den anden halvdel af trekant 1, når den foldes ned.

Korrekt, jeg mener, at T₂ + T₃ = T₁

Men når jeg folder trekant 3 ned over trekant 1 kan jeg godt se, at den er retvinklet og danner højden i trekant 1. Det samme gælder jo så for trekant 2. Men i og med, at trekant 2 og 3 overlapper hinanden skal trekant 4 og 5 trækkes fra trekant 2 og 3 før arealet er det samme, men jeg kan ikke komme frem til et bevis for dette?

#2

Trekanterne 2 og 3 overlapper ikke hinanden. Når trekant 2 foldes ned over trekant 1, dækker den præcis det halve af trekant 1, og når trekant 3 foldes ned over trekant 1, dækker den præcis den anden halvdel af trekant 1.

Trekant 2 er kun det lyst skraverede område, og trekant 3 er det violet skraverede område.

#3

Det er jeg godt med på, men trekant 4 og 5 er ekstra fold der er lavet, netop for, at trekant 2 og 3 har præcis samme areal af trekant 1. Til at starte med fortsat trekant 2 og 3 ud via den svagt markede linje, og derfor mener jeg, at de overlapper hinanden når man folder dem ned? 

Derfor vil jeg også mene, at et bevis vil omhandle om et eller andet hvor både trekant 4 og 5 er med, da disse er ekstra. (Hvis du kan følge mig i det?) Eller er det mig der er helt på forkert spor her?

#4

Så giver farvemarkeringerne da ingen mening. Trekanterne 2 og 3 indeholder ikke trekanterne 4 og 5.

Det kan jeg selvfølgelig godt se at det ikke gør nu, men jeg har siddet med den hele dagen, og har derfor ikke lige tænkt over det da jeg har lagt den op. Sådan her skal den se ud, her kan man se, at trekant 4 og 5 derfor er hjælpe trekanter der er lavet for at fjerne det overskydende areal. 

#6

Men hvis trekant 1 og trekant 2 her er de retvinklede trekanter, hvis ene katete er hele kvadratets side, gælder der ikke T₂ + T₃ = T₁ . Det gælder kun for de trekanter, der er markeret med farverne som sådan i den først vedlagte figur.

Derimod kan man så vise, at de store trekanter, som du kalder T₂ og T₃ på figuren i #6, hver har samme areal som trekanten T₁.

Hvis vi lader kvadratets sidelængde være s, er trekant T₁ en ligebenet trekant med grundlinie s·√2 og hver af de to lige store vinkler ved grundlinien er v = π/8 = 22,5º . Arealet af trekant T₁ er derfor

        A(T₁) = 2·(1/2)·s·(√2)/2 · s·(√2)/2 · tan(π/8) = (1/2)·s²·tan(π/8) .

Trekanterne (de store trekanter) T₂ og T₃ er kongruente og retvinklede. Den store katete er lig med kvadratets side s, og den mindste spidse vinkel er v = π/8 = 22,5º . Arealet af hver af de store trekanter T₂ eller T₃ er da

        A(T₂) = (1/2)·s·s·tan(π/8) = (1/2)·s²·tan(π/8)  = A(T₁) .