Fourierrækker

#0:  Jeg kan ikke helt se koblingen mellem Fouriertransformation og matricer, egenvektor og differitialligningssytemer, men det kan være, at jeg har "misset" noget her. For mig lyder det mere som Laplace-transformationer.

Men Fouriertransformationer benyttes i høj grad til billedbehandling, hvor man kan korrigere billeder, der er udtværede, uskarpe, har dårlig kontrast, osv. Forsøgsudstyret kan bestå af et kamera, en PC og en (foto)printer. 

Tag fx et billede af en bil, der kører forbi, og hvor bilen derfor på billedet bliver udtværet. Korriger billedet, så bilen fremstår knivskarpt.

Eller tag et billede med elendige kontraster. Fremhæv kontrasterne fx ved "dynamic contrast enhancement".

Det er sejt.

Fouriertransformationer bruges til behandling af bølger. Det være sig lyd eller elektromagnetiske bølger. Fouriertransformationen angiver løst sagt hvor meget der er af hver frekvens.

Ved at sende koefficienterne kan man pakke signalerne ned, så de fylder mindre. For lyd til mennesker giver det ikke nogen mening at sende frekvenser, der er højere eller lavere end det menneskelige øre kan opfatte.

Du kan undersøge hvor meget plads, der kan spares på den måde. Du kan også sammenligne frekvensfordelingen for flere personer evt. se på forskel mellem mænd og kvinder.

Sådan et projekt er afhængig af hvilket udstyr, der er til rådighed.

#2:  Udover anvendelse til billed- og bølgebehandling, kan nævnes flere, mere specielle anvendelser.

Eksempelvis tager militære satelitter flittigt billeder af fremmede militære lufthavne, med henblik på at tælle antal og typer af fly, der holder parkeret her, pegende i forskellige retninger. For nu, at en computer nemmere kan genkende en flytype, pegende i en vilkårlig retning, Fouriertransformerer man flyets omrids. Det er lidt vanskeligt, at forestille sig, hvad der lige sker her, og hvad der kommer ud af det, men fidusen består i, at ved at kigge på argumentet til den 1. harmoniske, og "dreje" denne vinkel til 0º, samtidigt med at multiplicere alle øvrige harmoniske med samme vinkeldrejning, har man drejet flyet til en referenceretning. En computer kan herefter let identificere flytypen, ud fra det dannede "fingeraftryk", bestående af den dannede Fourierrække. Altså, der sidder ikke mennesker med lup, og identificerer flytyper og tæller op, i disse tonsvis af billeder.

Så Fouriertransformation anvendes til andet end billed- og bølgebehandling, fx mønstergenkendelse.

For et kredsløb bestående af modstande, kondensatorer, spoler og spændingsgeneratorer kan man opstille differentialligninger for spændinger og strømme. Man benytter dog normalt Fouriertransfomation i stadet, så man kan finde de søgte værdier med simpel løsning af n ligninger med n ubekendte.

#3: For 40 år siden var der ingen computere, der kunne magte denne opgave, men metoden blev aligevel brugt! Forklaringen er, at man kan Fouriertransformere optisk. Anbringer man et sort/hvid foto i brændplanen for en samlelinse og belyser det med laserlys, vil den Fouriertransformerede af billedet dannes i linsens brændplan. Her anbringer man så en film, hvor man har optaget flyets Fouriertransformation. Derved filtreres den transformerede. Endnu en linse benyttes til at transformere tilbage til genstandsrummet, hvor flyene så træder tydeligere frem. Forklaringen på metoden er, at billedet virker som en samling bøjningsgitre (ét for hver Fourierkomponent i billedet). Hvert bøjningsgitter giver to plane bølger ved diffraktion. Hver plan bølge bliver af linsen afbildet i et punkt i brændplanen.

#0:

Du kan se på en klaverstreng. Du kan stille differentialligningen op og regne på den.

En anden mulighed er en orgelpibe. Den har andre randbetingelser, men grundlæggende samme differentialligninger som klaverstrengen.

I to dimensioner kan du regne på et rektangulært trommeskind. Obs. De fleste trommer har cirkulær grænse, hvilket kræver brug af Besselfunktioner, så det bør du nok undgå.

#4: Ad:

For et kredsløb bestående af modstande, kondensatorer, spoler og spændingsgeneratorer kan man opstille differentialligninger for spændinger og strømme. Man benytter dog normalt Fouriertransfomation i stedet, så man kan finde de søgte værdier med simpel løsning af n ligninger med n ubekendte.

Jeg ved snart ikke, hvad der er "normalt". Men jeg ville godt nok, ved sinusformede spændinger/strømme, anvende komplekse impedanser, som:  Z_L = R_L + jωL , osv.  Ved andre kurveformer, ville jeg anvende:

Z_L = R_L + sL , osv., altså benytte Laplace transformation.

De n komplekse ligninger, ville jeg opstille vha. Kirchhoffs love, eller man kan lave et blokdiagram, bestående af funktionsblokke.